苏州大学2016届高考考前指导卷（2）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1．设集合{|2}A x x =>，{|4}B x x =<，则A B = ▲ ．2．已知41iz =+(i 是虚数单位)，则复数z 的实部为 ▲ ． 3．抛物线2y x =的焦点坐标为 ▲ ．4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ．5．一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地抽取了3张标签，则取出的3张标签的标号的平均数是3的概率为 ▲ ． 6．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为 ▲ ．7．已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2＝ ▲ ． 8．如图,三棱锥BCD A -中,E 是AC 中点,F 在AD 上,且FD AF =2,若三棱锥BEF A -的体积是2,则四棱锥ECDF B -的体积为 ▲ ．9．平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，点E ，F 分别满足AE →＝2ED →，DF →＝FC →，则AF →·BE →＝ ▲ ．10．在平面直角坐标系中，过原点O 的直线l 与曲线2ex y -=交于不同的两点A ，B ，分别过A ，B 作x 轴的垂线，与曲线ln y x =分别交于点C ，D ，则直线CD 的斜率为 ▲ ．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 和右焦点2F ，上顶点为A ，2AF 的中垂线交椭圆于点B ，若左焦点1F 在线段AB 上，则椭圆离心率为 ▲ ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A C =，2c =，244a b =-，则a ＝ ▲ ．13．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =- ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．数列{}n a 中，若2i a k =（122k k i +<≤，*i ∈N ，k ∈N ），则满足2100i i a a +≥ 的i 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）T ←1 i ←3 While T <10 T ←T +ii ←i +2End WhileF EDCBA已知向量a ＝(sin ,)4x ，b ＝(cos x ，－1)．（1）当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值； （2）设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知3()24f α=，(,)2απ∈π，求sin α的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190ABC AB BC BB ∠=︒==，，点,D E 分别为1,BC CC 的中点． （1）求证：1B D ⊥平面ABE ； （2）若点P 是线段1B D 上一点且满足112B P PD=，求证：1A P ∥平面ADE ．17．（本小题满分14分）已知圆O ：224x y +=与x 轴负半轴的交点为A ，点P 在直线l0y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T .（1）若a ＝8，切点1)T -,求直线AP 的方程； （2）若PA =2PT ，求实数a 的取值范围.1A18．（本小题满分16分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．（1）试用x ，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19．（本小题满分16分）已知函数()(1)e x f x x k =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）． （1）当0x >时，求()f x 的单调区间和极值；（2）①若对于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求k 的取值范围；②若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x k +<．yx26cm30cm图1图220．（本小题满分16分）已知数列{}{},n n a b 分别满足111,2n n a a a +=-=，且111,2n nb b b +=-=，其中*n ∈N ，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ．（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，称数列{}n c 为“k 坠点数列”．①若数列{}n a 为“5坠点数列”，求n S ；②若数列{}n a 为“p 坠点数列”，数列{}n b 为“q 坠点数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=？若存在，求m 的最大值；若不存在，说明理由．苏州大学2016届高考考前指导卷（2）参考答案1．(2,4). 2．2. 3．1(0,)4. 4．6x π=-. 5．15. 6．9. 7．3. 8．10. 9．－6. 10．1. 11. 12．. 13．23a <≤. 14．128. 解答与提示 1． (2,4)AB =. 2．由题意4z =22i 1i =-+，所以其实部为2. 3．21p =，124p =，所以抛物线的焦点坐标为1(0,)4．4．由262x k ππ-=π+（k ∈Z ）时，23k x ππ=+；因此，当1k =-时，直线6x π=-是与y 轴最近的对称轴. 5．从1，2，3，4，5这五个数中任取3个数，用列举法可知，共有10种情况，而其中三个数的平均数是3的只有1，3，5和2，3，4两种情况，所以所求概率为21105p ==. 6．1,3;T i == 4,5;T i == 9,7;T i == 16,9.T i == 则最后输出的i 的值为9. 7．由2215a a a =可知2111(2)(8)a a a +=+，解得11a =，即23a =. 8．因为sin 1216sin 2AEF ACDAE AF AS SAC AD A⋅⋅==⋅⋅，V =总612A BEF V -=，则四棱锥B ECDF -的体积为10. 9．因为23AE AD =，12AF AD DF AD AB =+=+；23BE BA AE AD AB =+=-，那么AF BE ⋅=12AD AB +⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭23AD AB -⎛⎫⎪⎝⎭22212323AD AB AB AD =--⋅6846=--=-. 10．设121(,)x A x -e ，B 222(,)x x -e，则由点O ，A ，B 共线可知122212x x x x --=e e ，可化为1212x x x x -=e，得到1122lnx x x x -=，故有11221212ln ln ln CD x x x x k x x x x -==--1=. 11．由题意知2AB BF =，设1BF x =，则2x x a a ++=，所以2x a=，故112AF F B =，易求得()3,22B c b --，代入椭圆方程得22229441c b a b+=，解得2213c a =，所以33e =．12．在△ABC 中，由余弦定理24444cos2b b b C -=+-，即24(1cos2)80b b C -++=，故228cos 80b b C -+=，由正弦定理得212sin b C -=，即1cos b C -=，所以2(1)802b b b --+=，解得4b =，所以24412a b =-=，23a =.13．由题意当()()y f x g x =-[]2()10f x =-=时，即方程()1f x =有4个解. 又由函数1y a x =-+与函数2()y x a =-的大致形状可知，直线1y =与函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤的左右两支曲线都有两个交点，如下图示. 那么，有2(1)1,(1)1,(1)1,a f f ->->⎧⎪⎨⎪⎩≤即20,1,21,a a a a ><>-⎧⎪⎨⎪⎩或≤解得23a <≤. 14．由122k k i +<≤，得12222k k i ++<≤，2i a k =，则22(1)i a k =+，所以又2100i i a a +≥可得22(1)100k k ++≥，解得k 的最小值是7，即72128i =≥．15．（1）因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34．故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85．（2）223()2()222sin cos 2(cos 1)2f x x x x =+⋅=⋅+=-++a b b a b b 3sin 2cos22x x =++32sin(2)42x π=++．因为3()24f α=，所以33()2sin()2424f ααπ=++=，即32sin()48απ+=-，所以sin sin[()])cos())4444ααααππππ=+-=+-+32888-=-+=． 16．（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ABC ⊥面，AB ABC ⊂面，所以1BB AB ⊥，因为90ABC ∠=︒，所以BC AB ⊥，又1=BCBB B ，所以11AB BCC B ⊥面，因为111DB BCC B ⊂面，所以1AB DB ⊥，因为在平面11BCC B 中，1BC BB =，所以四边形11BCC B 为正方形，因为点,D E 分别为1,BC CC 的中点，所以BCE ∆∽1B BD ∆，所以1CBE BB D ∠=∠，所以1+=2CBE B DB π∠∠，即1B D BE ⊥，又因为=BABE B ，所以1B D ABE ⊥面. （2）连接PC 交DE 于点F ，连接1A C 交AE 于点G ，连接FG ，在正方形11BCC B 中利用112B P PD=及平面几何知识可得2PF FC=，在正方形11ACC A 中利用CE ∥1AA 且11=2CE AA 可得12AG GC =，所以在1CA P ∆中，1=2AG PFGC FC=，所以1A P GF ，又1A P ⊄平面ADE ，GF ⊂平面ADE ，所以1A P 平面ADE ．17．（1）由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点T 的坐标为(4,3)-，所以OT k =，1PT OT k k =-=， 故直线PT的方程为1y x +=，40y --=.联立直线l 和PT，40,80,y y--=+-=解得2,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即P ，所以直线AP的斜率为k ===，故直线AP 的方程为2)y x +，即1)21)0x y -+=，即1)20x y -+=.（2）设(,)P x y ，由PA ＝2PT ，可得2222(2)4(4)x y x y ++=+-，即22334200x y x ++-=，即满足PA ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆22264()39x y -+=，所以问题可转化为直线0y a +-=与圆22264()39x y -+=有公共点，所以83d =，即16|3a ≤，解得a. 18．（1）由题意，水平方向每根支条长为302152xm x -==-cm ，竖直方向每根支条长为261322y y n -==-cm ，菱形的边长为2=cm ．从而，所需木料的长度之和L 2(15)4(13)82yx =-+-+=822()x y ++cm ．（2）由题意，1132xy =，即260y x=，又由1A152,132,2x y--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥可得1301311x ≤≤．所以260822()L x x =++． 令260t x x=+，其导函数226010x-<在1301311x ≤≤上恒成立，故260t x x=+在130[,13]11上单调递减，所以可得372[33,]11t ∈．则26082()]L x x =++82]t =+=82+．因为函数y =和y =在372[33,]11t ∈上均为增函数，所以82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t =，即13,20x y ==时L 有最小值16+16+长的条形木料．19．（1）∵()()e ,0x f x x k x '=->．（i ）当0k ≤时，()0恒成立'>f x ，∴()f x 的递增区间是0+（，）∞，无递减区间；无极值．（ii ）当0>k 时，由()0'>f x 得，>x k ；由()0'<f x 得，0<<x k ；∴()f x 的递减区间是(0,)k ，递増区间是(,+)∞k ，()f x 的极小值为()e k f k =-，无极大值． （2）①由()4f x x <，可得(1)e 40x x k x ---<，因为e 0x >，所以41e xxx k --<，即41e x x k x >--对任意[1,2]x ∈恒成立，记4()1ex xg x x =--，则4(1)e 4(1)()1e e x x x x x g x -+-'=-=，因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]x ∈上单调递增，故2max228e 8()(2)1e eg x g -==-=．所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞．②由已知1212()()()f x f x x x =≠，结合（1）可知，0k >,()f x 在(,)-∞k 上单调递减，在(,+)∞k 上单调递增，又(1)0+=f k ，1<+x k 时，()0<f x ．不妨设121<<<+x k x k ，此时2x k >，12->k x k ，故要证122+<x x k ，只要证122k x x ->，只要证12(2)()f k x f x ->，因12()()f x f x =，即证11(2)()f k x f x ->．设()(2)()h x f k x f x =--2(1)(1)()kx xx k x k x k -+-=---<e e e ， 2()e ()()e e k xxx k h x x k -'=--22()()k x x x k --=e e e ， ∴当<x k 时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞k 上单调递减，∴(,)x k ∈-∞时，()()0k k h x h k >=-+=e e ，故当<x k 时，(2)（）->f k x f x ，即11(2)（）->f k x f x 成立，∴122+<x x k ．20．（1）数列{}{},n n a b 都为递增数列，∴12n n a a +-=，212,b b =-212, n n b b n *++=∈N ，∴21n a n =-， 11,1,2, 2.n n n b n --=⎧=⎨⎩≥（2）①∵数列{}n a 满足：存在唯一的正整数=5k ，使得1k k a a -<，且12n n a a +-=，∴数列{}n a 必为1,3,5,7,5,7,9,11,⋅⋅⋅，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，故22, 4,415, 5.n n n S n n n ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≤≥②∵2214n n b b +=，即12n n b b +=±，1||2n n b -∴=． 而数列{}n b 为“q 坠点数列”且11b =-，∴数列{}n b 中有且只有两个负项．假设存在正整数m ，使得+1m m S T =，显然1m ≠，且m T 为奇数，而{}n a 中各项均为奇数，∴m 必为偶数． ()211321(1)m S m m +≤++⋅⋅⋅++=+ .i ．当q m >时， 12112222 3.m m m m T --=-++⋅⋅⋅++=- 当6m ≥时，223(1)m m ->+，故不存在m ，使得1m m S T +=成立．ii ．当q m =时， 121122230m m m T --=-++⋅⋅⋅+-=-<，显然不存在m ，使得1m m S T +=成立．iii ．当q m <时，()()1321112+22223m m m m m T -----++⋅⋅⋅++-+=-≥，当1223(1)m m --+≤时，才存在m ，使得1m m S T +=成立，所以6m ≤．当6m =时，6q <，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,⋅⋅⋅，{}n b 为1,2,4,8,16,32,--⋅⋅⋅ 此时3p =，5q =，所以m 的最大值为6.鞠躬尽瘁，死而后已。