第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段一、引 言Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家.Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了.在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型.给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设:模型假设:121()H 初始种群规模已知00()x t x =，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的；221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡)；321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等.421()H 环境资源是无限的.确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数:t: 自变量， x(t): t 时刻的种群密度,b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率.模型的建立与求解:考查时间段[,]t t t +∆ (不失一般性, 设0t ∆>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足:t t ∆+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ∆内新出生个体数 – t ∆内死亡个体数,即()()()(),x t t x t bx t t dx t t +∆-=∆-∆亦即()()()(),x t t x t b d x t t +∆-=-∆ 令0t ∆→，可得()()():()dx t b d x t rx t dt=-= 满足初始条件0(0)N N =的解为()00().b d t rt x t x ex e -== 于是有0r >，即 b d >，则有 lim (),t x t →∞=+∞ 0r =，即 b d =，则有 0lim (),t x t N →∞= 0r <，即 b d <，则有 lim ()0.t x t →∞= Malthus 模型的积分曲线 ()x t 呈“J ”字型, 因而种群的指数增长又称为“J ”型增长.二、常微分方程发展简史常微分方程是伴随着微积分发展起来的, 微积分是它的母体, 生产生活实践是它生命的源泉. 300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学（物理学、力学等）进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法。
按照历史年代划分, 常微分方程研究的历史发展大体可分为四个阶段：● 18世纪及其以前；● 19世纪初期和中期；● 19世纪末期及20世纪初期；● 20世纪中期以后。
按照研究内容分可以分为：● 常微分方程经典阶段；● 常微分方程适定性理论阶段；● 常微分方程解析理论阶段；● 常微分方程定性理论阶段。
1、常微分方程经典阶段：18世纪及其以前尽管在Napier John 所创立的对数理论（讨论过微分方程的近似解）以及da Vinci Leonardo 的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程的思想萌芽, 但人们通常认为常微分方程的开端工作是由意大利科学家Galileo完成的. 现在通常称为弹性理论这一领域中的问题促进了微分方程的研究. 17世纪欧洲的建筑师们在建筑教堂和房屋时, 需要考虑垂直梁和水平梁在外力作用下的变形, 以及当外力撤销时梁的恢复程度, 也就是梁的弹性问题. 当时的建筑师们处理此类问题大多依赖于经验. Galileo从数学角度对梁的性态进行了研究, 将研究成果记录在《关于两门新科学的对话》一书中, 这些研究成果成为常微分方程开端.饿狼扑兔问题：一只兔子正在洞穴正南面60码的地方觅食，一只饿狼此刻正在兔子正东100码的地方游荡。
兔子回首间猛然遇见了饿狼贪婪的目光，预感大难临头，于是急忙向自己的洞穴奔去。
说时迟，那时快，恶狼见即将到口的美食就要失落，立即以一倍于兔于的速度紧盯着兔子追去。
于是，狼与兔之间，展开了一场生与死的惊心动魄的追逐。
问：兔子能否逃脱厄运？⏹一阶常微分方程从17世纪末开始, 摆的运动, 弹性理论及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程, 这些问题在当时往往以挑战的形式被提出而在数学家之间引起热烈的讨论. 常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中, 或者出现在那些常常重新登载书信中建立的或说明的结果的刊物中. 某人宣布一个结果往往引起另一个人的申辩, 说他更早作了完全相同的工作. 由于存在着激烈的竞争,这种申辩不一定是真实的. 有些证明只是概述, 而且弄不清作者掌握的详情. 同样, 在信上写着的一般解法也仅仅是特例的说明. 由于这些原因, 我们即使不考虑这个问题的严密性, 也很难指出谁是首先得到这些结果的人. 质点动力学是这个阶段研究的问题的主要来源之一。
1693年, Huygens在《教师学报》中明确说到了微分方程, 而Leibniz在同年的《教师学报》的另一篇文章中称微分方程为特征三角形的边的函数. 我们现在所学到的关于常微分方程的观点大约直到1740年才出现.Bernoulli James用微积分求解常微分方程解析解的先驱者之一.●1690年, Bernoulli James研究了与钟摆运动有关的``等时曲线问题: 求一条曲线, 使得摆沿着它作一次完全的振动时间相等, 无论摆所经历的弧长的大小". Bernoulli James通过分析建立了常微分方程模型, 并用分离变量法解出了曲线方程，即摆线.●1690年, Bernoulli James提出了“悬链线问题：求一根柔软的但不能伸长的绳子悬挂于两固定点而形成的曲线”. Leibniz称此曲线为悬链线. 在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线.●这个问题早在15世纪, Leonardo da Vinci已经考虑过此问题. Galileo比Bernoulli James更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
Huygens 在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。
在1691年6月的《教师学报》上, Leibniz G, Huggens C (62岁), Bernoulli John 都发表了各自的解答, Huggens的解答是几何的且是不清楚的. John所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程，解此方程并适当选取参数，即得悬链线.也就是常微分方程教材中采用的解法. Leibniz用微积分的方法也得到了这个结果. John能够解决了悬链线问题, 而他的哥哥James提出这个难题却不能解决, 所以他感到莫大的骄傲.这两个人在学术上一直相互不忿，据说当年John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，James做了一年也没有结果，实在是很没面子。
Bernoulli一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是Daniel Bernoulli（丹尼尔·伯努利）（他是John Bernoulli 的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍：“我是Daniel Bernoulli 。
"那个人当时就怒了，说：“我是还是Issac Newton （牛顿）呢。
”Daniel 从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历，把它当作自己曾经听过的最衷心的赞扬。
●● 1694年, Leibniz G 和Bernoulli John 提出了等角轨线问题: 求这样的曲线和曲线族, 使得它与某已知曲线族的每一条曲线都相交成给定的角度. 当所给定的角为直角时, 等角轨线就称为正交轨线. 等角轨线在许多学科如光学、天文、气象中都有应用.这个问题一直到1697年都没有公开,那时John 把它作为向James 提出的一个挑战. James 只解决了一些特殊的实例. John 导出了一特殊曲线族的正交轨线的微分方程,并且在1698年解出了它. 后来Leibniz 找到了曲线族22y bx = (b 是参数)的正交轨线即一族椭圆22/2y x c +=.虽然他只解出了特例, 没有给出一般方法, 但在他的解法中隐含了一般解法.●● 正交轨线问题一直处于沉寂状态, 直到1715年, Leibniz 向英国数学家, 主要对准Newton 提出挑战: 找出求一已知曲线或曲线族的正交轨线的一般方法. Newton 在造币厂, 白天劳累之后, 用睡觉前时间接触了这个问题, 1716年发表了他的解答. Newton 还指明了如何求与一已知曲线族相交成定角的曲线, 或相交的角是按照给定的规律随族中曲线变化的曲线. 虽然Newton 用了二阶常微分方程, 但他的方法与现代所用的方法没有太大的不同. 关于这个问题的更进一步的工作是由Bernoulli Nicholas 在1716年完成的. 1717年, Hermann J (Bernoulli John 的学生)给出了一般规则, 此方法实际上是Leibniz 的, 只不过Hermann 阐述得更为明确而已. John Bernoulli 向英国人提出了另外一些轨线的难题, 他特别讨厌的是Newton. 由于英国人和欧洲大陆伙伴已经不和, 所以挑战是冷酷的且充满敌意.● 1754年, Lagrange J 在``等时曲线问题"上取得重要进展, 并开创了变分学.起初, 数学家们只是用特殊的方法和技巧解决特殊的方程, 然后才逐渐开始寻找带有普遍性的方法.● 1691年, Leibniz G 提出了求解了变量可分离方程()()y f x g y '=的“变量分离法”; 首次应用后来被称为Briot-Bouquet 变换的$y=ux$解决了齐次方程(/)y f y x '=的求解问题. 1694年, Bernoulli John 在《教师学报》中对变量可分离方程和齐次方程求解作了更加完整的说明.●● 1695年, Bernoulli James 提出了Bernoulli 方程()()n dy p x y q x y dx=+, 并于1696年用分离变量法把它解出. 1696年, Leibniz G 利用“变量代换法”求解Bernoulli 方程,即作变量替换1n z y-=, 将其划为线性方程求解. 还曾试图利用变量代换法统一解决一阶常微分方程的求解问题. Bernoulli 兄弟(James, John)也推进了分离变量法和变量代换法.● 1734-1735年Euler L 提出了全微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=, 并给出了此方程是全微分方程的条件: M N y x∂∂=∂∂. 当一个一阶方程不是全微分方程时, 往往可以将方程乘上一个叫作积分因子的量, 使它变为全微分方程. 积分因子法虽说在一阶方程的特殊问题中已经采用(如John Bernoulli 曾用此方法求解一些变量可分离方程), 但是领会到积分因子这个概念, 并把它作为一种方法提炼出来的却是Euler, Euler L 确立了可采用积分因子法求解的方程的类属; 证明了凡能用分离变量法求解的方程都可用积分因子法求解, 但反之不然; 证明了如果知道了任何一个常微分方程的两个积分因子, 那么令它们的比等于常数, 就是微分方程的一个积分; 还证明了对于高阶方程, 用分离变量法求解是行不通的; 还曾试图利用积分因子的方法统一解决一阶常微分方程的求解问题. ●1739-1740年Clairaut A 独立地引入了积分因子的概念, 也提出了“积分因子法”. ●●1694年, Leibniz 发现了方程的一个解族的包络也是解. ●●1715-1718年，Taylor B 讨论微分方程的奇解、包络和变量代换公式. ●●1734年, Clairaut 研究了以他名字命名的Clairaut 方程, 发现这个方程的通解是直线族, 而直线的包络线就是奇解; 他知道奇解不包含于通解之中, 但不知道奇解是一包络. Clairaut 和Euler 对奇解进行了全面的研究, 给出从微分方程本身求的奇解的方法. ●●1772年, Laplace P 将奇解概念推广到高阶方程和三个变量的方程. ●1774年, Lagrange J 对奇解和通解的联系作了系统的研究, 他给出了一般的方法和奇解是积分曲线族的包络的几何解释. ●● 奇解的完整理论是在19世纪发展起来的, 而且由Cayley 和Darboux 在1872年给出现代的形式.到1740年左右, 几乎所有求解一阶方程的初等方法都已经清楚了.。