相 应 地 ，（３）式 的 解 记 为 ：
U (t ) = u ( x (t , ξ ,η ), y (t , ξ ,η ), z (t , ξ ,η )) （６）
不相交。 在整个区域 D 内， 所有的特征曲线 “平行” 地布满 D 。 此时方程（１）的未知函数的 v 一阶偏导数线性组合在各特征曲线 γ 上只随 换 t 的变化而变化，从而可转化为对 t 的导数。 句 话 说 ， 将 ( x, y , z , u ) 所 在 区 域 ( D, u ) ⊂ R4 沿 v v 曲面 (γ , u ) （即 (ξ ,η ) 取定）剪开，在曲面 (γ , u ) 内未知函数是参数 t 的一元函数。 方程（１）在此 曲面上就是一常微分方程。
5x − 2 y − 2( x7+ y ) x+ y )e − 1) + C1 ( ，其 7 7 中 C1 为 任 意 的 一 阶 连 续 可 导 函 数 。 再用特征曲线法解方程： v = 7e
− x+ y 7
于 是 ， 原 方 程 变 为 U t + L3U = G (t ) ， 其 中 U = u(x(t,ω), y(t,ω)) ， L3 = l3(x(t,ω), y(t,ω)) ，
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２０１０ ＮＯ．０４ ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
科技资讯
用特征曲线法求解线性偏微分方程
王建鹏 １ 林毅 ２ 李祯 ３ （ １ ． 河海大学常州校区数理部 江苏常州 ２ １ ３ ０ ２ ２ ； ２ ．常州机电职业技术学院基础部 江苏常州 ２ １ ３ １ ６ ４ ； ３ ． 陕西省杨凌区西北农林科技大学理学院应用数学系 陕西杨凌 ７ １ ２ １ ０ ０ ） 摘 要 ： 特征曲线法是一种求解线性偏微分方程的基本方法． 但由于与几何背景相联系， 不易理解掌握． 本文总结了用特征曲线求解一 阶线性偏微分方程的思想方法，在此基础上，给出特征曲线法在一类二阶常系数线性偏微分方程求解问题上的推广。 关键词：偏微分方程 变量替换 特征曲线 方向导数 曲纹坐标 中图分类号：Ｏ１７２ 文献标识码：Ａ 文章编号 ：１６７２－３７９１（２０１０）０２（ａ）－０２１７－０２
C1 (ω ) = ω , C2 (ω ) = 0 ， 即 得
x′(t ) f x + y′ (t ) f y + z′(t ) f z =
dF (t ) dt
显然， 利用此式我们可将 f 的各一阶偏 导 数 的 线 性 组 合 转 化 为 某 一 元 函 数 F (t ) 的 导数。 考虑一阶线性偏微分方程： l1u x + l2u y + l3 u z + l4 u = g ( x , y, z ) （１） 其中 l1 , l2 , l3 不 全 为 零 。 若对于某变元， 有： x′(t ) = l1 , y ′(t ) = l2 , z ′(t ) = l3 （２） 则： U ′(t ) + L4 (t )U (t ) = G (t ) 。 （３） 其 中 U(t) = u(x(t), y(t), z(t)) ， L4(t) =l4(x(t), y(t), z(t)) ，
（２） 得到。 z = z (t ) 可 通 过 解 常 微 分 方 程 组 （ ３ ）式 是 一 线 性 常 微 分 方 程 ，易 用 系 数 变 易 法或积分因子法求解。 为 求 解 方 程（１）的解，注 意 到 变 换
x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) 并 不 可 逆 ， 引 入 另 外 x = x(t , ξ ,η ) y = y (t , ξ ,η ) 两个参数 ξ ,η 使 变 换 为可逆变 z = z(t , ξ ,η ) 换， 记其逆变换为： t = t ( x, y, z ) ξ = ( x, y, z )
２ ． １ 常系数方程 l1ux + l2uy + l3u = g(x, y) ，系数 l1 , l2 不全为零。
D 为 R 3 中 一 区 域 ，且 γ ( I ) ⊂ D ； 则 复 合 函 数 v f (γ (t )) 对 t 求 导 有 ：
v
v 设曲线 γ (t , ω ) = ( x (t , ω ), y (t , ω )) （ ω 取定）
因此，函数的一阶偏导数的线性组合 与沿某正则曲线切向量的方向导数（也即 函 数 在 该 曲 线 上 对 弧 长 的 导 数） 成 比 例 ， 并 且等于函数在该曲线上对某参数的导数。 而此正则曲线即为以线性组合的系数向量 为切向量的曲线，相应的参数变化时点
( x, y, z) 即在 R 3 中 描 绘 出 该 曲 线 。
∂( x, y) l1 1 因 ∂(t, ω ) = l 0 = −l2 ≠ 0 ， 故 逆 变 换 为 2
t=
y l ω = x− 1 y。 于是 l2 ， l2
l1ux + l2 u y = l1 (uω ωx + ut t x ) + l2 (uω ω y + ut t y )
= (l1ω x + l2ω y )uω + (l1t x + l2t y )ut = ut
１ 基本思想
１ ． １ 偏－常微分方程转化 设 γ (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t )), t ∈ I 为 一 向 量 值 函 数 ，其 中 x(t), y(t), z(t) ∈C1(I ) ，函 数 f (x, y, z) ∈C1(D) ，
v
２ 一阶线性偏微分方程的求解及例
易知（５）式本质上仍为常微分方程组， 可解得：
x = x(t , ξ ,η ), y = y (t , ξ ,η ), z = z (t , ξ ,η )
求其逆变换（４）代入（６）式即得原方程（１） 的解。 １ ． ２ 几何意义（ 以 R 3 中问题为例） 设 f = f ( x, y, z ) ∈ C1 ( D) ， D ∈ R 3 。 在D内 做正则曲线 Γ ，用 s 表示曲线的弧长变量， 则 Γ 的参数方程为： v v γ = γ (s) = (x(s), y(s), z(s))= (x(s(t)), y(s(t)), z(s(t)))t ∈ I， 其中 t 为任意参数， s = s (t ) 为弧长变量 与 参 数 t 之间的函数关系。
涉及到多元函数的偏导数及一元函数导数。 若 x′(t ), y′ (t ), z′(t ) 已 知 ， 记 F (t ) = f (γ (t )) ， 则 ：
v
v v 作 函 数 ϕ (τ , s) = f (γ ( s ) + τγ ′( s )) ， 则 f
特 征 曲 线 （ ω 取 定 ） ， C1 , C2 为 任 意 的 一 阶 连 续 可 微 函 数 ， 不 妨 设 l2 ≠ 0 ， 取
x = l1t + ω 。 y = l 2t
给 上 式 两 边 同 乘 以 s′(t ) 得 ：
dγ ∂f df (γ (s)) df (γ (s( t))) s′(t ) = s ′(t ) = ∇f (γ (s(t )))R = ds dt dt ∂γ ′() s
v v
df γ s = ∇f (γ()) s Rγ′() s= ds
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cv x + dv y = acu xx + (bc + ad )u xy + bdu yy = l1u xx + l2uxy + l3u yy = g ( x, y )
方 程 cvx + dv y = g ( x, y ) （ v = v( x, y ) ） 和 构 造 方 程 2vx + 5vy + 2v = x + y （ v = v ( x, y ) ） 和 3u x + u y = v （ u = u ( x, y ) ）。 用特征曲线法解方程 2vx + 5vy + 2v = x + y 得
为特征曲线的参数方程。
t = t(x, y) ∂(x, y) 当 ∂(t,ω) ≠ 0 时， 求 得 逆 变 换 为 ω =ω(x, y) ，
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使得
v x = l1t + C1 (ω ) ∂γ (t, ω) = (l1 , l2 ) 。 解得 y l t C 为 ∂t = 2 + 2 (ω )
v df ( r (t )) v v v = f x ( r (t )) x′(t ) + f y ( r (t )) y′(t ) + f z ( r (t )) z ′(t ) dt 上式中左边是对一元函数求导， 而右边
l1 ( x , y )u x + l 2 ( x, y )u y + l3 ( x, y )u = g ( x, y ) ，
l1 , l2 不 全 为 零 函 数 。 v 设 γ (t , ω ) = ( x(t , ω ), y (t , ω )) 曲线（ ω 取定） 使得
v x = x(t , ω ) ∂γ (t,ω) = (l1( x, y), l2 ( x, y)) ，解得 ∂t y = y (t , ω )
dγ ′ = (l1 , l2 , l3 ) 决 定 的 对 于 方 程 （１），称由 dt 曲线为方程（１） 的特征曲线。 显然方程（ １ ）的特征曲线就是将方程中 未知函数的一阶偏导数线性组合转化为未 知函数对某参数的导数所需的正则曲线， 而参数 t 即为相应的求导变元。 在 区 域 D 内作一组曲纹坐标 (t , ξ ,η ) 并 建 立 其 与 坐 标 ( x, y, z ) 的 一 一 对 应 ， 使 得 当 (ξ ,η ) 取定时，随着 t 的变化， (t , ξ ,η ) 正好描绘 出 特 征 曲 线 ； 而 对 于 不 同 的 (ξ ,η ) 取 值 ， (t , ξ ,η ) 则描绘出不同的特征曲线， 并且彼此