偏微分方程的数值方法
刘铭
偏微分方程定解问题，是表述自然 与工程技术领域中各种现象最重要的数 学工具之一，应用十分广泛。 遗憾的是，绝大多数偏微分方程的 解不能以实用的解析形式来表示，因而 其数值解就显得尤为重要。
虽然常微分方程数值方法的历史可以
追溯到18世纪，一些偏微分方程的数值方
法也在20世纪初得到研究，但是，它们发
显式方法
• 时间导数
T Ti Ti T t 2 t t i t i 2
n 1 n 2 n n
T • x方向导数
2 2
n
x i

T 2Ti T
n i 1 n
x
n i 1
2
T x 4 x i 12
4 n 2
• 差分方程：
T Ti T T 2 0 i t x t
2 n n 1 n n n n 2 Ti 2 T T T t 1 i i 1
x
2
T x 2 4 t i 2 x i 12
4 n 2 截断误差

差分方程
隐式方法
t n1 n n n n T T T 2 T T 显式 i i i 1 2 i 1 i x n 1 n n 1 n n 1 n T 2T T T T T T T i 1 i 1 i i i 1 i 1 2 2 n 1 n t x 2 2 2 Ti Ti 隐式 2 t x 克兰克尼克尔森隐式格式
数值求解偏微分方程定解问题的 主要方法
1.差分方法 2.有限元方法 共同点：都是将连续的偏微分方程进行离散， 采取适当形式将其化为线性代数方程组，通 过求解代数方程组给出其数值解。
差分方法
无论是常微分方程还是偏微分方程，初值问 题或边值问题，椭圆型、双曲型或抛物型二阶 线性方程，以及高阶方程或非线性方程，通常 均可利用此法将它们转化为代数方程组，再借
2
（3）双曲型方程（如波动方程）
u 2 u a 0 2 2 t x
2 2
边界条件
三种类型的边界条件： （1）狄里赫利型边界条件（第一类边界条 件）：边界上的函数值已知； （2）纽曼型边界条件（第二类边界条件）： 边界上函数的法向导数值已知或是一种连续 函数。
（3）混合边界条件：边界条件为第一类边界 条件和第二类边界条件的线性组合。
（2）优点：要得到相同精度的解，如果使用 高阶差分格式，网格点的总数可以更少一些； 高阶差分格式可以给出质量更高的解。
差分方程的显式方法与隐式方法
例如，方程
T T 2 t x
2
有两个自变量x和t，设t是用于推进求解的变 量 。i是x方向的标号，n是t方向的标号。设第 n层上的数值已知，求第n+1层上的数值。
t n1 t t n 1 n n n n 1 T T T T 2 T T i i i 1 i i 1 2 2 i 1 2 2 x 2 x x
隐式方法：包含第n+1层上的多个未知量， 必须形成一个代数方程组。由于需要求解 联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大 型矩阵的运算。比显式方法需要更多、更 复杂的计算。
二阶导数的差分表达式：
Hale Waihona Puke ui 1, j 2ui , j ui 1, j 2u 2 O x 2 2 x x i , j
随着精度的不断提高，可以推导出无穷 无尽的差分表达式。对于高阶精度公式，其 优点、缺点：
（1）缺点：高阶精度的差分需要更多的网格 点，所以计算中的每一步都需要更多的计算 时间。
展成为一门理论上严谨，实用上有效的学
科，还是20世纪50年代以来的事，这主要
得益于电子计算机的诞生。
偏微分方程的分类
2 2 u u （1）椭圆型方程 a b 2 f x, y 2 y x
（2）抛物型方程（如热传导方程）
u u a 2 f x, t t x
隐式格式可化成三对角形式的方程组。
Ti
n 1
Ti
n
t
x
2
T
n i 1
2Ti T
n
n i 1

显式方法：每一个差分方程只包含一个第 n+1层的未知数，从而这个未知数可以用 直接计算的方式显式地求解。显式方法是 最简单的方法。
t
2 x
2
T
n 1 i 1
差分方法的基本概念 ---用差商代替导数
差分方法的基础，即泰勒级数展开：
u x x u x
最初的估计 不太好
u u x x 2 x x 2
2 2 加上斜率的影响 加上曲率的影响
一阶导数的差分表达式：
ui 1, j ui , j u O x x x i , j
整理隐式格式，将未知量放在等式左边，已 知量放到右边，得
t
2 x
2
T
n 1 i 1
t n1 t t n 1 n n n n 1 T T T T 2 T T i i i i 1 2 2 i 1 2 i 1 2 x 2 x x
助计算机求其数值解。
目前，对于线性偏微分方程定解问题， 差分方法已经形成了较成熟的算法格式， 对于非线性问题，有效的算法正在迅速发 展之中。
差分方法的准备工作
（1）把求解的区域划分成网格；
（2）把求解区域内连续的函数用网格节点上 的离散的数值代替。 网格的划分有不同的方法，有正方形和 三角形网格等划分方法。