线性系统的相轨迹
设不同的

值，
不同的

值，
绘制对应的直线
相轨迹的切线方向场
从不同的初始条件出发绘制相轨迹 求出系统的过渡过程
c(t )
对于线性二阶系统，根据不同的 其特征值S平面的分布不同 系统运动规律不同
线性系统的相轨迹
（1）
0 1
设
0.5 , n 1
s1, 2 0.5 j 3 / 2
x
相平面的绘制
x 0 运动方程的解 x (t ) x0 sin t x(t ) x0 cost , x
消去时间变量 直接积分法：
2 2 (t ) x0 x2 (t ) x
dx dx dx dx x 0 x x x x ,x dx dt dx dx dx xdx x dx xdx x
非线性系统的特点
• 稳定性
– 系统的稳定性和输出响应不仅与系统的结构和 参数有关（与线性系统相同），还与系统的初 始条件及输入信号的形式和大小有关。
非线性系统的系统稳定性必须针对系统的具体的 运动状态来讨论。
非线性系统的特点
dx x x 2 x( x 1) ， x(0) x0 例：设一阶非线性系统 dt
非线性控制系统概述
• 非线性系统与线性系统的根本区别：非线 性系统不满足叠加原理
对于方程： dx f ( x, t ) dt 若 x1 (t ), x2 (t ) 是方程的解，有 x1 (t ) x2 (t ) 也是方程的解, 则方程为线性系统，例如： f ( x, t ) ax b
（3）除平衡点之外，通过
x
轴是的相轨迹斜率为 a
或
a
（4）作图精度与等倾线的条数有关，但等 倾线太多，使得人工作图引起的累积误差就 增加。为了提高作图精度，可以采用平均斜 率法
x
x
线性系统的相轨迹
3、线性系统的相轨迹
（1）一阶系统相轨迹
设初始条件： x(0) x0
x0 Tx
dx 0 的系统状态为平衡状态。 dt dx 令 x x 2 x( x 1) 0 dt
dx 0 dt
有两个平衡状态：
x 0 , x 1
是不稳定的平衡状态。
x 0 是稳定的平衡状态， x 1
由此可见，非线性系统有多个平衡状态，有些是稳定的， 有些是不稳定的。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。
• 饱和特性
xa ka y kx x a ka x a
– 对系统的影响：
(1)在大信号作用下，等效传递系数下降跟踪误差，响 应时间，稳态误差。 (2)可能使振荡减弱。 (3)可利用饱和特性来保护系统或元件的安全运行。
相平面法
• 相平面法：是一种求解一阶、二阶常微分 方程的图解方法。将一阶、二阶系统的解 （运动过程）表示为在x-y 平面上点的变化 ，研究这些点的变化轨迹，得到系统的运 动规律。 • 相平面法用于分析一阶、二阶线性系统或 非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响 应、稳态精度以及初始条件和参数对系统 运动的影响。
1 x x T 1 x0 T
x
(0) x
x
0
x
0
x
T 0
T 0
线性系统的相轨迹
（2）线性二阶系统的相轨迹
自由运动的系统微分方程： 当b0 时 特征根：
s1, 2
ac bc 0 c
2 2 nc n c c0
a a 2 4b 2
非线性系统的特点
• 自激振荡
– 非线性系统在没有外界周期信号的激励下，能 以固有的振幅和固有的频率产生稳定的振荡， 即自激振荡。 – 控制系统中，自激振荡会造成机械磨损、能量 消耗、并带来控制误差等，自激振荡是要设法 抑制的。 – 为此，自激振荡是非线性系统分析中的重要的 内容之一。
非线性系统的特点
解：
dx dt x ( x 1)
x0e x(t ) 1 x0 x0e t
当初始条件 （1） x0 1 ，输出是发散的。
t
x(t )
x0 1
0
ln x0 x0 1
x0 1 x0 1
t
（2） x0 1
，输出是收敛的。
一阶非线性系统响应
非线性系统的特点
一般称满足 在本例：
– 继电特性可能会产生自激振荡 – 可利用继电控制实现快速跟踪
常见非线性因素对系统的影响
• 死区特性
0 y k ( x signx) x x
对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差尤其是测量元件。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或减少振荡性。
常见非线性因素对系统的影响
饱和特性
死区特性
间隙特性
继电特性
常见非线性因素对系统的影响
• 等效增益
设非线性特性表示为：
y f ( x)
定义非线性环节输出y与输入x的比值为等效增益k
y f ( x) k x x
xyΒιβλιοθήκη k等效增益表示的非线性系统
常见非线性因素对系统的影响
• 继电特性
M y M x 0 x 0
上述结果表明： k 等倾线的斜率=位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率 当相轨迹运动到这样的等倾线上，将沿着等倾线收敛或发散。 考虑 b 0 , b 0 , b 0
线性系统的相轨迹
（1）b<0 特征根：
2
a a 4|b| s1 0 2
a a2 4 | b | s2 0 2
否则为非线性系统。
非线性控制系统概述
• 所谓非线性系统，是指用非线性代数方程 和（或）非线性微分（差分）方程描述的 系统。
非线性控制系统概述
• 非线性产生的缘由
– 一种是系统中原有元件固有的非线性特性，如 死区、饱和、间隙等。这些非线性特性的存在 很大程度上影响着系统的动静态品质，直接导 致系统模型成为非线性模型。 – 另外一种是为了改善系统性能而加入的元件带 来的非线性特性，如继电器特性、变增益放大 器等，这类非线性特性往往能改善系统的品质 ，使系统具有比线性系统更好的动态性能。
t
相平面的绘制
解析法、图解法、实验法 （1）解析法 通过求解微分方程的办法找出 在相平面上绘制相轨迹。
(t ) ~ x(t ) x
方法：(1) 消去参变量 t；（2）直接积分法 例1：弹簧-质量运动系统的自由运动的相轨迹
k 1
m 1
(0) 0 x(0) x0 x
解：
kx x 0 m x x

2 b
s1, 2 n j n 1 2
相轨迹微分方程 令
2 n 2 n c c dc dc c 2 n 2 n c c c
2 n c cc, 2 n
dc dc
2 n 等倾线是一条过 2 n 坐标原点的直线
D区
c
s1c c
A区
C区
s2
0
s1
0
c
B区
s2 c c
线性系统的相轨迹
（2）b=0 特征根：
s2
s1 0
a2 4 | b | s1 0 2 a a2 4 | b | s2 a 2 c c
a
相轨迹方程：
0
c
0
c
ac bc dc a dc c
• 频率响应发生畸变
Ac Ac
1
6
5
2

线性系统频率响应曲线
3
4

非线性弹簧输出的幅频特性
非线性系统的频率响应：跳跃谐振和多值响应。
非线性系统的特点
分频振荡和倍频振荡
非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同 频率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。
输入信号
t t t
倍频信号
分频信号
常见非线性特性
a0
a0
(t ) adc(t ) dc
(t ) c 0 a(c(t ) c0 ) c
线性系统的相轨迹
（3）b>0
自由运动的系统微分方程：
2 2 nc n c c0
2 r (t ) 0 n s( s 2 n )
c(t )
a
ac bc 0 c
c
特征根分布如图所示，相轨迹见P397 图 8-17
s1
0 .5
j 0.866
t x
相平面法的基本概念
(t ) t , x(t ), x
x
对应于相平面上的一个点。
x
t1
t4
t2
x
t3
t1 t 2 t 3 t 4
t
t1 t2 t3 t4
x
) ( x, x （1）相轨迹：当 t 变化时， 在相平面上将绘出一条相应的 轨迹。
（2）相平面图：相平面及其上 的相轨迹族组成的图形称为系 统的相平面图。
f ( x, x ) dx dx x
相轨迹方程
相平面的绘制
相轨迹在相平面 x ~ x
令
dx a dx
上任一点
) f ( x, x a x
) ( x, x
dx 的切线的斜率 dx
) f ( x, x x a
) f ( x, x 等倾线方程： x a
相轨迹方程： dc ac bc dc c bc 等倾线方程： c kc(t ) a