5.对非线性系统，尚无一定的求V(x)的方法，可 以用变量梯度法、鲁尔法、波波夫法等。
二.线性定常系统V(x)的选取方法
1.任意选取法
例系统如下，判别其稳定性 解：


x1


x2


0 2
1 x1

3

x2


0 xe 0

x2 (x1 x2 ) x1x2
解： （1）求xe
(2)设V(x)
(x1 x2 ) x22 0 (x1 x2 ) x1x2 0 x1 x2 0
(3)求 V (x)
V (x) x12 x22



V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2(x1 x2 )2
V(x)必有一个二次型矩阵与之对应，同理，一个实对
称矩阵必有一个二次型函数。
3.赛尔维斯特准则：二次型函数V(x)正定的充要条件 是：二次型矩阵P的主、子行列式的值为正；若二次 型矩阵P的主、子行列式的值非负，则V(x)半正定。
例题.证明V(x)为正定函数
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
x(t) → xe ，则xe称为渐近稳定。 5. 若平衡状态xe是渐近稳定的，且S(δ)包括整个状态空间，则xe称
为大范围稳定。
6.无论实数δ选得多小，由初态引起的系统响应随时间增加都要脱离 S(ε)球域，则称为不稳定。
7.等幅振荡，只要幅值不超过S(ε)球域，则xe在李雅普诺夫意义下 是稳定的。
8.对线性定常系统， xe唯一，故对全系统而言只有一种稳定性情况， 而对非线性系统或时变系统，有不同的平衡点就有不同的稳定性。 此时仅研究不同平衡状态下的各自的稳定性。
三.正定函数
1.正定函数V(x)： （1） V(x)对向量x中各分量可连续偏微分 （2）当x≠0时， V(x)>0 （3）仅在x=0时， V(x)=0 2.正半定函数 （2）当x≠0时， V(x)>=0 3.负定函数 （2）当x≠0时， V(x)<0 4.负定函数 （2）当x≠0时， V(x)<=0 5.不定函数： V(x)的值可正、可负。
大于零。
例系统如下，判别其稳定性

x1 x2

x2 2x1 3x2
x1 x2 0
AT P PA I


x1


x2


0 2
1 x1

3

x2

0 2 p11
1

3

p21
p12 p22

例.判断下列函数的正定性
1.V (x) x12 x22 2.V (x) (x1 x2 )2 3.V (x) x12 (3x1 x22 )2 4.V (x) x1x22 x22
四.二次型函数
1.定义：具有下列形式的函数称为二次型函数，其中 P为实对称矩阵。
(1)V (x) x12 x22




V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2x1x2 2x2 (2x1 3x2 ) 6x22 2x1x2
(2)V (x) 2x12 x22



V (x) 4x1 x1 2x2 x2 4x1x2 2x2 (2x1 3x2 ) 6x22
第五章 线性系统的稳定性
第一节 概述
一.平衡状态
设系统的状态方程为

x f (x) Ax
，对所有的时间t，均
存在f(xe)=0，则x=xe称为系统的平衡点。
例.
1 0 (1) x 1 2x 可见：
(2)

x1 x1
x2 x1 x2 x23
4 p12 1
p12 1/ 4
p11 3 p12 2 p22 0
p11 5 / 4
2 p12 6 p22 1
p22 1/ 4
4 1
P


5 1
4 1

4 4
第三节 非线性系统的稳定性
例：

x1 (x1 x2 ) x22
1.对线性定常系统，只要A阵非奇异，xe唯一 2.对非线性系统，xe可以存在多个 3.通过坐标变换，可以讲平衡状态点，转移到原点
二.稳定性的定义
若对任一实数ε >0都存在另一实数δ (ε ,t0)>0，使 得下列不等式成立：
||x0-xe||≤δ ， ||x-xe||≤ ε
设S(δ )是包含满足方程||x0-xe||≤δ 的点的一个 球域，S(ε )是包含满足方程||x0-xe||≤ε 的点的 一个球域。
(4)判稳： 负半定，且除x=0外不恒为零，系统渐近稳 定。也V是(x) 大范围渐近稳定。
例：试判断单摆运动的稳定性
解 (1)建立系统的数学模型
根据动量矩定理：质点的动量 对任意固定点的矩对时间的导 数等于作用于该质点的力对同 一点的力矩
(2)求xe
(3)设V(x)
(4)求

V (x)
(5)判稳

V (x)
定理说明
1. V(x)是由系统状态变量所构成的二次型函数,代 表系统的能量。
2.若系统的平衡点不在原点，可用坐标变换使平衡 点处于原点。
3.判据仅是充分条件，即找到了满足上述条件的 V(x)，则系统稳定，若找不到V(x)，不能说明系 统不稳定。
4.对线性定常系统而言，只要是渐近稳定就一定是 大范围渐近稳定
x1


x1 )

x2 (
g L
sin
x1 )

g L
( sin
x1

x2 )

0
d (mvL) mgLsin dt

v L




g
sin

L

x1 , x2

x1 x2

x2


g L
sin
x1
x2 0


g L
sin
x1

0
x1 x2 0
V
(x)

1 2
x22

g L
(1
cos x1)

V
(x)

x2

x2

g L
(
sin
2.若 是负半定的，且除x=0外， 不恒为零，则系 统在V原(x) 点处的平衡状态是渐近稳定的。V(x若) 随着x的增加， V(x)→∞，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定 的。
3.若 是负半定的，则系统在原点处的平衡状态是李雅 普诺V夫 (x)意义下的稳定。
4.若 是正定的，或者若 是正半定的，且除x=0外， 不恒V为(x) 零，则系统在原点处的V (平x) 衡状态是不稳定的。
则对应于每一个S(ε )，都存在一个S(δ )，使得当 t无限增加时，从S(δ )出发的状态，其轨迹均不超 出S(ε )，则系统的平衡状态称为李雅普诺夫意义 下是稳定的。
说明：
1.x是t>t0时的状态变量，xe是平衡状态，x0是t=t0时的初态 2.欧几里德范数 x xe (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen)2 3.若δ 和ε 均与初始时间t0无关，则xe为一致稳定 4.若平衡状态xe是稳定的，且当t→∞时，由初态引起的系统响应
V (x) x1(10x1 x2 2x3 ) x2 (x1 4x2 x3 ) x3 (2x1 x2 x3 )
10 1 2 x1
x1 x2 x3 1
4

1

x2

2 1 1 x3
10 1 2
P


1
4 1Hale Waihona Puke 2 1 1 10 1
p11 10 0, 1
39 0, P 17 0 4
第二节 李雅普诺夫判稳法

一.定理：设系统

x

Ax
，且x0=0是系统的平衡状态。构
造一个正定的标量函数V(x)，且V(x)连续一阶可微，则
1.若 是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳 定的。V(x若) 随着x的增加， V(x)→∞，则系统在原点处的平 衡状态是大范围渐近稳定的。
p11 p12 p1n x1
V (x) xT px x1
x2

xn


p12

p22

p2n


x2



pn1
pn2

pnn


xn

2.二次型矩阵： P为二次型矩阵。一个二次型函数
2.计算法求V(x)

设系统

x Ax

设 V (x) xT Px

则

V
(x)


xT
Px
xT
P

x
xT AT Px xT PAx
xT ( AT P PA)x

令
AT P PA I
可见：此时设 为负定，只要证明V(x)为正定即可。
根据赛尔维斯特V准(x)则，可以反求P阵为主子行列式的值均