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求解的一般过程 ● Maxa2∈A2{U2（a1，a2）}→反应函数 a2=R2（a1） ● Maxa1∈A1{U1（a1，a2（a1） ）}→反应函数 a*1 ● 得到：SPNE （a1；R2（a1）； ） 均衡结果（Outcome）（a*1；R2（a*1） ： ） 例：Stackelberg（1934） ：Leader-Follower Model
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流浪汉 游荡
1
0
0
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●纯战略 NE 不存在 ●求混合战略 NE： 设政府的混合战略 σG=（θ，1-θ） 设流浪汉的混合战略 σL=（γ，1-γ） =θ[3γ+（-1） （1-γ）]+（1-θ）[-γ+0（1-γ）] =θ（5γ-1）-γ VL（σG，σL）=γVL（θ，1）+（1-γ）VL（θ，0） =γ[2θ+（1-θ）]+（1-γ）[3θ+0（1-θ）]
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￥490
13 10 4 10
8 13
●百年夫妻：纯战略 NE 不存在
20
3、NE 战略存在性定理（Nash，1950） ：
每个有限博弈至少存在一个 NE（纯战略或混合战略） ●混合战略（Mixed Strategy） ：关于纯战略集的概率向量 σk=（σk，1，σk，2，…，σk，nk） ●例：社会福利博弈 寻找工作 救济 政府 不救济
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２、ＮＥ的求解
例 1：囚犯困境 C C 囚犯 A DC
-10 0 -2 -2 -5 -5 0
囚犯 B DC
-10
●验证：{s*1=（C，C） 2=（C，C）}为 NE 战略 ；s* ●但 Pareto 改进（-2，-2）未能自发达到——外部性 ●个人理性与集体理性产生冲突
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（贝叶斯纳什均衡）BNE
1．引例 t21 2 1 1 U D
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t22 R 0 2 3 0 4 0 0 4
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L
L 0
R 1 2 1
3 1 0
● 参与人 2 有两种类型：t21 与 t22，其战略为类型依存的， S2（t2） ：从类型空间到战略空间的映照 ● 参与人 1 对参与人 2 的类型有先验概率 P 2）（1/2， （t ： 1/2） ● 验证： 1*，S2*）为 NE，其中 S1*=U； （S S2*（t2）=L，若 t2=t21；S2*（t2）=R，若 t2=t22 证明：给定 S2*，求参与人 1 的期望效用： 若 S1=U，则п 1=1/2×3+1/2×2=5/2 若 S1=D，则п 1=1/2×0+1/2×2=2 所以，给定 S2*，S1*=U 为参与人 1 的最优战略
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SPNE
1．引例：市场进入博弈 Entrant （E） Out I （Incumbent） （0，2） F （-3，-1）
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A （2，1）
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●2 个纯战略 NE： {Out；Fight If In}；{In；Accommodate If In} ●NE{Out；F If In}在均衡路径上最优；但在非均衡路径上 （右枝）非最优：若 E 真的 In，I 的选择将是 A ●{Out；F If In}是不合理的；I 的威胁是不可臵信的（InCredible） ●那么，如何剔除基于不可臵信威胁的不合理的 NE？ ●Selten（1975）引进 子博弈精练纳什均衡（SPNE）的概 念
四、博弈的表示方式
1．矩阵博弈 例：囚犯困境 囚犯 B C
囚 犯 C A -5 -5 0 -2 0 -2
DC
-10
DC -10
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例：性别战（Battle of
●新婚夫妇： Opera Opera Sandy Football ●百年夫妻： Opera Opera Sandy Football
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●另解（支付最大法） ： 一阶条件（FOC） ： dVG/dθ=0；dVL/dγ=0 γ*=0．2；θ*=0．5 ●为什么 VG 对θ求偏导，却得到γ？ ●流浪汉的混合战略如何直观理解？（HarSanyi）— 设有 100 个流浪汉，则大约 20 个在寻找工作；另 外的 80 个在游荡
例：囚犯两难（困境）矩阵博弈与博弈树的转换
（-5，-5） C B○ C A○ DC B○ DC （-2，-2） C （-10，0） DC （0，-10）
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五、均衡（Equilibrium)
静态 完全信息 不完全信息
NE
动态
SPNE
BNE
PBNE
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纳什均衡（ＮＥ）
1、定义： ●战略 S*=（s*1，s*2，…，s*n）为 NE 战略等价 于 对 k=1，2，…，n，有 s*k∈arg〃Max{Uk（s*k，s*-k）} ●也就是说， 在均衡战略下， 如果他人不改变战略， 任意参与人不会单方面改变战略
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○1 2○ r a l 0 -1 7 b ○3 r -2 2 28 0 -1 3○ 5 l r 6 3 5 1 4 2 4
① L （-1，5，6） a （5，4，4） L 1○ R
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R ② b （0，-1，7）
（-1，5，6）
（5，4，4）
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● SPNE（s1，s2，s3） 1={R}；s2：a If 1 Plays R； ：s s3：=r，If 1 Plays L； =r，If L Plays R and 2 Plays a； =l，If L Plays Ｒ ａｎｄ2 Plays ｂ ● 均衡结果： （Ｒ；ａ；ｒ）
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2、博弈规则（续）
●博弈：规定谁在什么时候行动；行动时知道了什么； 有什么可供选择；得到多少 ●有限博弈：参与人有限；行动集合有限 ●博弈规则为共同知识的博弈称为完全信息博弈 ●所有参与人在行动时均知道其他参与人之前的行动 的博弈称为完美信息博弈 ●完美→完全；不完全→不完美
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应用阶段（续）
（3）市场营销 ●Sales Force Mgt. ● Channel Mgt. ● Pricing Startegy （4）产业组织理论 ● 市场竞争与 R&D 竞争 ● 市场进入与反进入 ● 广告方法选择
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● 产业规制
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二、合作博弈
● Cartel （OPEC） ● RJVs ● 合作讨价还价模型（Nash，1950） ： Max{（X1-D1） 2-D2）} （X S．T． X1+X2≤1 其中， 1、 2 分别为 1 与 2 的初始禀赋， D D 成为威胁点 （Threat Point） ，产权配臵改变 D1、D2。 当 D1=D2，X1=X2=1/2
外部协调机制
●内部协调不能达到 Pareto 最优（如：Cartel 不能维 持） ●由外部协调机制来解决，如黑社会： 囚犯 B C C 囚犯 A
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DC
-∞ -∞ -∞ -2 -10 -2
-∞ -10
DC
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例 2：航空价格战 中 陆 ￥380 ￥380 8 法航 ￥490 4 NE： （8，8） 例 3：性别战 ●新婚夫妇： 2 个 NE： （Opera，Opera）（Football，Football） ；
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反之，给定 S1*，S（t21）=L；S（t22）=R 分别是 t21 与 t22 类 型的参与人 2 的最优战略 2．Static B．G 的定义： {I；{Si}；{ui（· ）}；Θ ；F（· ）} ●Si 为 i 的战略空间，si∈Si 为 i 的战略（类型依存的） ●Θ =Θ 1×Θ 2×…×Θ I，而θ i∈Θ i 为 i 的类型 ●Ui（si；s-I；θ i） ●F（θ ）=F（θ 1，θ 2，…，θ I）为联合分布函数；密度 函数 P（θ 1，θ 2，…，θ I）与条件概率 Pi（θ -i/θ i）为 共同知识（K．N）
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Ｓｅｘｅｓ）
Paul Football
1 0 0 1 0 2
2 0
Paul Football
0 1 0 1 2 0
2 0
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２、博弈树
例：欧盟航空公司空中争夺战 中陆 ￥380 法航 380 490 380 ￥490 法航 490
（8，8） （13，4） （4，13） （10，10）
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第六讲 博弈论基础
一．博弈论的发展阶段
1．传统阶段： ●Theory of Oligopoly: Cournot(1838) Betrand(1883) ●Theory of Bargaining: Edgeworth(1887) Hicks(1932) 2．现代阶段： ●Von Neumann & Morgenstern (1944)
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3．BNE： {Si*（· iI=1 满足：对任意的θ i∈Θ i，有： ）} Si*（θ i）∈ arg．Maxsi（θ i）{∑ui（si，s-i；θ i）P（θ -i/θ i）} i=1，2，…，I
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例 1：Duopoly Cournot Ｍｏｄｅｌ 反需求函数：Ｐｉ＝ａ－ｑｉ－ｑｊ，ｉ、ｊ＝１，２ 利润函数：п
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则，VG（σG，σL）=θVG（1，γ）+（1-θ）VG（0，γ）
=-γ（2θ-1）+3θ
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●由 VG（σG，σL）=θ[5γ-1]-γ 得到政府的反应对应： θ=0，当γ＜0．2；θ∈[0，1]，当γ=0．2；θ=1，当 γ＞0．2 ●由 VL（σG，σ L）=-γ[2θ-1]+3θ 得到流浪汉的反应 对应：γ=1，当θ＜0．5；γ∈[0，1]，当θ=0．5；γ =0，当θ＞0．5 ● NE： （σ*G，σL*） σ*G=（0．5，0．5） σL*=（0．2，0．8）