够通过相邻的齿间空隙。假设齿轮的半径为 6.0 cm ，齿轮边上共有 500 个 齿，当镜面与齿轮的距离为 500 m 时，所测得的光速为 3.0×105 km/s, 试 问齿轮旋转的角速度为多大？齿轮边缘上一点的线速度为多少？
解答提示
光从齿轮到镜面，再反射回到齿轮所用的时间为
t

500 3108
v N
A
rO
B
mg
C
由牛顿第二定律得：
D
切向 F ma
mg sin m dv
dt
①
法向 Fn man
N mg cos m v2
r
②
dv dv d dv dv v dt d dt d d r
由①式得 mg sin m dv v d r
dv dv dx kv2 (1) dt dx dt
dx v (2) dt
分离变量积分，得 ln v ln v0 kx
v v0ekx,
1-10 飞机 A 以 vA = 103 km/s 速率 （相对地面）向南行，同时另一 架飞机 B 以 vB = 800 km/s 速率 （相对地面 ） 向东偏南 30o 角方向飞行。 求 A 机相对 B 机的速度和 B 机相对 A 机的速度。
1-9 一艘正在沿直线行驶的汽艇，在发动机关闭后，其加速度方向与
速度方向相反，满足 dv kv2 , dt
式中 k 为常数。试证明汽艇在关闭发动机
后又行驶 x 距离时的速度为 v v0ekx , 其中 v0 是关闭发动机时的速度。
解答提示
对题中所给关系式 dv kv2 作一数学处理如下： dt
N N 3mg cos
方向N与n相反
滑的水平有桌一面条上单。位现长以度一质恒量定为的λ的加匀速质度细绳，竖开直a始向时上盘提绕绳在，光当
提起的高度为 y 时，作用在绳端的力为多少？若以一恒定速
度竖直向上提绳时，仍提到 y 高度，此时作用在绳端的力又
时多少？ 解：以被提起的绳段y为研究
列方程。分别建立各隔离体的牛顿方程式 （分量式）。
解方程。先文字运算，后代入数据，统一 单位，求得结果，再作讨论。
一质量为 m 的小球最初位于如图所示的 A 点，然后沿 半径为 r 的光滑圆弧的内表面 ADCB 下滑。试求小球在C 时 的角速度和对圆弧表面的作用力。
解：取n自然坐标系，小球受力如图

解答提示
y
vy
v
vx
r
x
1-3
已知质点在铅直平面内运动，运动方程为
r

5ti
(15t

5t
2
)
j
(SI )
求 t=1s 时的法向加速度，切向加速度及轨道曲率半径。

解答提示
y
vy
v
有以下关系式：
v
dr

5i
(15
10t) j,
dt
d 2r
a dt2 10 j
1m1和m2相对电梯的加速度； 2绳的张力。
解：由题意，绳和滑轮的质 量均略去不计，故有
T1 T2 T
取地面为参考系，电梯 相对地面的加速度为 a. 设ar为m1相对电梯的加速度，
ar
ar
m2
a
m1
则m1相对地面的加速度 a1为


vBA 693 i 600 j
适用范围
牛顿三大定律只适用于宏观、低速领域， 当物体的运动速度接近光速或研究微观客体的 运动时，需要分别应用相对论力学和量子力学 规律。
牛顿运动定律的应用
解题步骤
确定研究对象。应用“隔离体法”。 分析力。作“示力图”。
分析物体的运动情况。选定参考系，标出 加速度。
yF
v
对象，建立坐标Oy.它受拉力F和重
力 yg的作用，如图所示。
由牛顿第二定律：
F yg d mv d yv
dt
dt
dy v y dv v2 ay
dt
dt
y
O
mg yg
即
F yg v2 ay
即
vdv rg sin d
两边积分
v
vdv

rg sin d
0
900
得
1 v2 rg cos 即 v 2rg cos
2
所以 v 2g cos
r
r
代入②式得
N mg cos m v2 3mg cos
r 所以小球对圆弧的作用力为
vx
r
x
v
vx2

v
2 y

25 (15 10t)2 ,
a

dv dt

(15 10t)(10) 25 (15 10t)2
a
ax2

a
2 y
,
an
a2 a2
又有
v2
an ,
故曲率半径 v2 25 (15 10t)2 50(m)
an
50
1-4 一质点从静止 （ t=0 ） 出发， 沿半径为 R=3m 的圆周运动，切向 加速度大小保持不变，为 aτ =3 m / s2 , 在什么时刻其总加速度 a 恰与半

2

1 3105
由齿轮转过相邻空隙的弧长
s v t Rt 2R
500
3.8103(rad / s) v R 2.3102 (m / s)
1-8 一飞轮以等角加速度 2 rad / s2 转动，在某时刻以后的 5s 内飞轮 转过 100 rad 。若此飞轮是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮 转动了多少时间？
r

2ti
（1） 轨迹方程
(19
2t 2 ) j
（2）速度
v

dr

2i
4tj
y 19 1 x2
加速度
adt
dv

4 j
2
dt
（3）电子位矢与速度垂直时，它们的标积为零，即 r v 0
可解得 t1 0, t2 3
（4）电子距原点距离为 r x2 y2 (2t)2 (19 2t2 )2
由题意
vA

1000 j,


y
vB 693i 400 j.
A 相对 B 的速度：
vAB

vA0 vA0
vvB00B
vA

vB
693i 600 j
o
30o

vA
vBA
vAB
x
vB
同理可求， B 相对 A 的速度：
解答提示
1-5 一质点沿半径为 0.10 m 的圆周运动，其角位置 θ = 2 + 4t3 (SI)， 问：
（1） t=2s 时质点的法向加速度和切向加速度各是多少？ （2） 当切向加速度的大小恰是总加速度的一半时，θ值是多少？ （3） 在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
解答提示
（1）角速度
d 12t 2
dt
角加速度 d 24t
dt
（2）据题意
a

1 2
a
an 2R 14.4t 4 a R 2.4t
2.4t 1 (2.4t)2 (14.4t 4 )2 , 2
解得 t3 1 , 3.15rad
23
（3） 由 a an
解答提示：
由图可得 h S x
H
HS
故 S H x H h
头顶在地面影子的速度
v0 h
x
s
v

ds dt

H H
h
dx dt

H H
h
v0
1-3
已知质点在铅直平面内运动，运动方程为
r

5ti
(15t

5t
2
)
j
(SI )
求 t=1s 时的法向加速度，切向加速度及轨道曲率半径。
(2)
2 1 100 (3)
由 （1）,（2）,（3） 解出 t1 =7.5 s .
1-9 一艘正在沿直线行驶的汽艇，在发动机关闭后，其加速度方向与
速度方向相反，满足 dv kv2 , dt
式中 k 为常数。试证明汽艇在关闭发动机
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后又行驶 x 距离时的速度为 v v0ekx , 其中 v0 是关闭发动机时的速度。
切向加速度 a

dv dt
c
v2 (b ct)2 法向加速度 an R R
（2）若 a an
解得t b R cc
有 c (b ct)2 R
(s)
1-7 测量光速的方法之一是利用旋转的齿轮。一束光线通过轮边齿间空 隙到达远处的镜面上，然后调节齿轮转速，使得光束在反射回来时刚好能
1当a 常矢量时，v2 2ay
则
F1 yg 2ay ay
g 3ay
2当v 常矢量时，a 0
则 F2 gy v2
例四 设电梯相对地面以加速度a铅直向上运动。
电梯中有一质量可略去不计的滑轮，在滑轮的两侧用
轻绳悬挂着质量分别为m1和m2的重物。已知m1 m2 , 求
14.4t2 2.4t
解得 t= 0.55 (s)
1-6 一质点沿半径为 R 的圆周运动，其路程 s 随时间 t 变化的规律为 s = bt - 1/2 ct2 (SI) ,式中 b, c 为大于零的常数， 且 b2 > Rc . 求