B O
E
·
D
C
圆周角在我们生活中处处可见，比如， 圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从团旗上的图 案抽象出如图所示图形，图形中就有很多圆周角． 案抽象出如图所示图形，图形中就有很多圆周角．
探 究
量出∠ 的度数， 量出∠BAC与∠BOC的度数，它们有什么关系？ 与 的度数 它们有什么关系？
A
每位同学画一个圆，然后任 每位同学画一个圆， 意画一个圆周角， 意画一个圆周角，以及相应的 圆心角（ 圆心角（它所对的弧也是圆周 角所对的弧）， ），量出它们的度 角所对的弧），量出它们的度 看它们之间有什么关系？ 数，看它们之间有什么关系？ ∠BAC= 1 ∠BOC
A
1 ∵∠BAD= ∠BOD ∵∠ 2 1 ∠CAD= ∠COD B 2 1 ∴∠BAD－CAD= （∠BOD-∠COD） ∴∠ － ∠ ） 2 1 ∴∠BAC= ∠BOC ∴∠ 2 综上所述，我们证明了下述定理： 综上所述，我们证明了下述定理：
C D
定理2 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
动脑筋
利用定理2 以及圆心角与所对的弧的关系， 利用定理2，以及圆心角与所对的弧的关系， 定理 你能说出下述结论成立的道理吗？ 你能说出下述结论成立的道理吗？ A D C
·O B C
A
· O
B
在同一圆（或相等的圆） 在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，相等的圆周角所对的弧相等. 反之，相等的圆周角所对的弧相等. 直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90° 直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的 弦是直径. 弦是直径.
∠ABC+ ∠CAB= 90°－ ∠CAB = 90°－ 65°= 25° ° ° ° °
2. 如图在圆 中,弦AB与CD相交于点 如图在圆O中 弦 与 相交于点 相交于点M. 相等吗?为什么 ⑴∠ACD与∠ABD相等吗 为什么 与 相等吗 为什么? ∠ACD=∠ABD ∠ 同弧所对的圆周角相等. 同弧所对的圆周角相等 ⑵ ∠CAB与∠CDB相等吗 为什么? 与 相等吗?为什么 相等吗 为什么 ∠CAB=∠CDB ∠ 同弧所对的圆周角相等. 同弧所对的圆周角相等 相似吗?为什么 ⑶ △ACM与△DBM相似吗 为什么 与 相似吗 为什么? ∵∠ACD= ∠ ABD ∵∠ ∠ CAB=∠CDB ∠ ∴△ACM∽△DBM ∽ A C B · M · O D
O · C
B
2
与同桌或邻近桌的同学交流， 与同桌或邻近桌的同学交流，猜测一条弧所对的圆周角 与圆心角有什么关系．你能证明这个猜测吗？ 与圆心角有什么关系．你能证明这个猜测吗？ ∠BAC= 1 ∠BOC
2
圆周角的一边通过圆心． 情形一 圆周角的一边通过圆心． A 如图 圆O中，∠BAC的一边 通过圆心． 的一边AB通过圆心 中 的一边 通过圆心． 由于OA=OC，因此∠C=∠BAC， ，因此∠ ∠ 由于 ， 从而∠ 从而∠BOC=∠C+∠BAC ∠ ∠ =2∠BAC， ∠ ， 即∠BAC= 1 ∠BOC
2
O·
C
B
情形二 圆心在圆心角的内部 如图， 的内部． 如图，圆O在∠BAC的内部．作直径 ， 在 的内部 作直径AD， 根据情形一的结果得
1 ∠BOD 2 ∠BAD = —————， ， 1 ∠ DOC 2 ∠DAC = —————． ．
A
O· C B D
从而∠ 1 ∠ BOC 2 = ——————
1 ( ∠ BO D + ∠ D O C ) 2 = ——————
圆心在圆周角的外部． 情形三 圆心在圆周角的外部．
如图，圆心 在 的外部． 如图，圆心O在∠BAC的外部． 的外部 1 你能证明∠ 你能证明∠BAC= ∠BOC吗？ 吗 2 证明: 证明 作直径AD 作直径 ·O
观
察
3.1.2 圆周角
A
如图， 有什么特点？ 如图，∠BAC有什么特点？ 有什么特点
O 的顶点A在圆上 ∠BAC的顶点 在圆上， 的顶点 在圆上， 它的两边都与圆相交. 它的两边都与圆相交 B
·
C
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角． 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角 圆周角
A
练习
1.如图 如图,AB是圆 的一条直径 ∠CAB=65°, 是圆O的一条直径 如图 是圆 的一条直径, ° 求∠ABC的度数 的度数
解:
因为AB是直径 因为 是直径 所以∠ 所以∠C = 90° ° 所以△ 所以△ABC为直角三角形 为直角三角形 ∠ABC+ ∠CAB= 90° ° A
C · O B