1 n
1 +1 nn
2 +L+ 1
n
n
n n
÷÷øö
.
解: 1 1 + 1 2 + L + 1 n
nn nn
nn
=
1 n
ççèæ
1+ n
2 +L+ n
n n
÷÷øö
(4)
2
(4)式的和是函数 f (x) = x ，在区间 [0,1]上的一个积分和，这是把 [0,1] n 等份，xi 取
为
é êë
i
【关键词】定积分概念；和式极限；极限
一、定积分的概念
设 函 数 y = f (x) 在 [a,b] 上 有 界 ， 1. 在 [a,b] 中 任 意 插 入 n -1 个 分 点 ，
[ ] a = x0 < x1 < x2 < L < xi-1 < xi < L < xn-1 < xn = b ，把区间 a,b 分成 n 个小区间，其 [ ] 长 度 为 Dxi = xi - xi-1 (i = 1,2,L, n) ； 2. 在 每 个 小 区 间 xi-1, xi 上 任 取 一 点
n®¥
n k =1
1 n
çæ ç è
k n
1-
çæ è
k n
÷ö 2 ø
÷ö ÷ ø
ò=
1
x
1 - x2 dx
0
( ) =
êëé-
1 3
1-
x2
3 ù1 2 úû 0
=1 3
实例 3. 求 lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 + 4n2
÷÷øö .
3
分析：此题先提出
n
å (xi xi-1 < xi < xi ) ，作积， f (xi )Dxi (i = 1,2,L, n) ；3.求和式 f (xi Dxi )
(1)
i =1
记 l = max{Dx1, Dx2 ,L, Dxn } 当 l ® 0 (n ® ¥)时和式（1）趋向于确定的极限
n
å ( ) 值 I
即
I = lim f
ò 式极限转化为定积分 1 f (x)dx ，且被积函数的原函数容易求出，应用牛顿—莱布尼兹公式 0
直接求出结果。
1
实例 4.
求
lim
n®¥
êëéçèæ1
+
1 ÷öçæ1 + n øè
2 ÷öLçæ1 + nø è
n n
÷øöúûù
n
.
å 解:原式
=
lim
ì expí
1
n
lnçæ1 + k ÷öýü
[5]刘光祖，鲁恩双.大学数学辅导与考研指导〔M〕.北京，科学出版社，2002.
5
n®¥ î n k=1 è n øþ
=
ì expílim
n
å
çæ1
+
k
÷ö
1
ü ý
în®¥ k =1 è n ø n þ
4
{ } =
exp
1
ò0
ln(1
+
x )dx
= exp{ln 4 -1} = 4 .
e
注：（1）这里的数列通项为各项之积，不能只表示为积分的形式，我们可以采用对数法， 把积变为和的形式，进而将所求极限化为定积分，把被积函数转化为对数函数。
分。定积分是用和式极限定义的，所以用定积分可以求一类特殊类型的和式极限。
二、定理
如果函数 f (x) 在 [0,1]上连续，则函数 f (x) 在[0,1]上可积。
1
ò å 且有
1 f (x) = lim n f çæ k ÷ö 1
0
n®¥ k =1 è n ø n
(2)
ò å 1 f (x) = lim n-1 f çæ k ÷ö 1
l ®0
(n®¥ )
i =1
xi Dxi 。
我 们 就 称 这 个 极 限 值 I 为 函 数 f (x) 在 区 间 [a,b] 上 的 定 积 分 ， 记 作
ò ( ) å ( ) b
f
a
x
n
= lim
l ®0
(n®¥ )
i =1
f
xi Dxi ，区间的划分与 xi 的选取是否适当将决定能否用定义求出定积
1 n
，然后可变为
lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
然后让第一项出现 1 ，第二项出现 2 ，…。
n
n
只要分子、分母同除以 n2 即可Leabharlann 解: lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
å = lim 1 n
0
n®¥ k=0 è n ø n
(3)
说明：当遇到一个和式满足如下条件时，
a) 每项都含有 1 （ 1 作为公因子提出）。 nn
b) (1)式中每项都是一个函数形式时，也就是每一项形式相同。
第一项含有 1 ，第二项 2 ，...， (2)式中第二项含 1 ，第二项含 2 ，…， 设法第一
n
n
n
n
项添加并变出含 0 （往往不明显）。 n
巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧 石国学 / 山东铝业职业学院基础部
【摘 要】在数学分析、高等数学教科书中，经常会遇到一类无限多项和式极限
lim
n®¥
1 n
ççèæ
1+ n
2 +L+ n
n n
÷÷øö
的求解难度大，结构复杂、抽象不易理解的问题。本文通过
几个实例介绍如何运用定积分定义求和式极限的方法和技巧，使求和式极限问题简单化。
参考文献:
[1]吉林大学数学系.数学分析（中册）〔M〕.北京人民教育出版社:1978.
[2]华东师范大学数学系编.《数学分析》（上册）〔M〕，高等教育出版社，2001.
[3]盛骤，吴迪光，张光天.《高等数学》高等学校专科教学用书，浙江大学出版社，1985.
[4]欧阳光中，朱学炎，秦曾复.《数学分析》（上册）〔M〕.上海: 上海科学技术出版社 1983.
=
é2
ê ë
3
3
x2
ù1 ú û0
=
2 3
ån
实例 2.求 lim
k
n2 - k2 .
n n®¥ k =1 3
å å n
解: Q
k
n3
k =1
n2 - k2
=
n 1 çæ k
k =1
n
ç è
n
1-
çæ è
k n
÷ö 2 ø
÷ö ÷ ø
ån
\ lim
k
n2 - k2
n n®¥ k =1 3
å =
lim
n
1
,
i n
ù úû
的右端点（即
x
i
=
i, n
f (xi ) =
i 构成的积分和，因为 f (x) =
n
x 在 [0,1]上可
积，由定积分的定义有
nli®m¥ççèæ
1 n
1 +1 nn
2 +L+ 1
n
n
n n
÷÷øö
=
é lim ê n®¥ êë
1 n
ççèæ
1+ n
2 +L+ n
n n
÷÷øöúúûù
无论(2)式或(3)式第 i 项都必须含有 i ，其余的不能含多余的 n ，这样的和式极限就是 n
一个 [0,1] 上的一个定积分， i 就是积分中 f (x) 的 x ，所谓的规律就是，通过求出定积分
n
的值就可求出和式极限的值。
三、利用定积分概念求和式极限的实例分析
实例
1.求极限
nli®m¥ççèæ
n n®¥ i=1
1 1 + 4çæ i ÷ö2
ènø
ò1
=x
1
dx
0 1+ 4x2
( ) ( ) ò = 1 1 20
1 dt = 1 ln t + 1+t2 2
1+ t2
2 0
=
1 ln 2
2+
5.
ån
注:以上三题中的数列通项为 n 项之和。可直接化为积分和
f çæ k ÷ö 的形式，从而把和
k=0 è n ø
（2）如果区间不是 [0,1]而是 [a,b]，只需注意分点 xi
=
a + kDx
=
a+
k (b - a)，
n
Dx = b - a 便可将所求极限化为定积分。 n
四、结论
巧妙的运用定积分的概念、繁复的求极限（先求和再求极限）问题瞬间得到解决，从而 突破了习惯性思维的框架，克服了思维定势的束缚，常常带有创造性，完善了和式极限的计 算方法，对教学和科研具有双重意义。