专题1 ---- 利用定积分定义求极限
对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法:
①是n 时的极限
n
②极限运算中含有连加符号
i 1
在定积分的定义中，我们把区间［a,b］平均分成n个小区间
b a
我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为—a
成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n 来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了）
n lim0 f(a .b a、b a i )- n n
表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是
n
lim f (a
n
i 1
baba
i )-
n n
b
f (x) dx ,
a
而不是
（定积分的定义中是任意分割区间［a,b］，
（即定义中的x），这n个小区间分别为
r b a、「b a b a n r
[a, a ] , [a ,a 2 ] , [a n n n
b a b a _ [a (n 2) ,a (n 1) ],
n n [a (n
n
_ b a
2 ,a n
b a
3山],…,
n
1）,b］，在定义中每个小区间上任意取的i我们n
致取为每个小区间的右端点i a（也可以取左端点i a （i 1）），那么定义中
左端点时i） x i就变为 f (a i-
a) b a n
n
，那么lim
n
n
f(a
i 1
b
a f （X）dX。

n
lim f (a
n
i 1
(i
baba b
忖匚a®)
注意：定积分的定义中0表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n也表示把区间分割
,当分割方式为均等分割时，n 就
f (x)dx。

如f(x)在区间［0,1］上的积分可以表示为1f(x)dx lim 1 ° f (-)
0 n n i 1 n i取每个小区间的右端
1
点，或者o f (x)dx
lim1n
n n i 1
心)
n i
取每个小区间的左端点。

举例：求lim
n
分析：函数f （x）x3在区间［0,1］上的定积分的定义可以表示为1x3dx
lim
n
1 i 3
-(―)3(这里i取
n n
的是每个小区间的右端点）1x3dx
lim
n
丄(丄)3
n n
lim
n
.3
厶。

所以
4
n
n lim
n
i 1 \3dx
x4
4 |0
对于这个考点的考法应该不会很深（这个方法经常在数学竞赛中用到），给出的极限应该可以化为某个函数在区间［0,1］上的定积分，基于此，遇到这类题时，一定要把给出的极限化为如下形式:
lim n
i f(-) 1lim
1 n n n n i 1
f ()或者lim
n "
7 f(」)hm
n
i 1 n n n n
i 1
f（」），只要化为以上的几种n
形式, 那么给出的极限就是函数f（x）在区间［0,1］上的积分，
即
1
o f (x)dx lim -lim
n n
f(-) lim 丄 fC 】)
i 1 n n i 1 n n
-lim
n n
心)
n。