第一章 绪论
什么是线性微分方程：形如)()()()(y 1)1(1)(x f y x a y x a y x a n n n n =+'+++-- 的微分方程，即y 及y 的各阶导数都是一次有理整式，即不含y 及y 的各阶导数的乘积的微分方程叫：线性微分方程。
第二章 一阶微分方程的初等解法
§ 2.1 变量分离方程
1、形式：)()(y x f dx
dy ϕ= 做题步骤：① 0)(≠y ϕ 可将方程改写为：
dx x f y dy )()(=ϕ，这样对两边积分：⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ，得出方程的通解，但c 要保证积分式有意义 ② 0)(=y ϕ时，求出0y y = 也是方程的解
2、y x P dx
dy )(=得dx x P ce y ⎰=)( (2.4) 而0=y 也是方程的解，而若(2.4)允许c=0，则y=0也在(2.4)中，故(2.4)是原方程的通解，其中c=0。
3、齐次方程：
)(x
y g dx dy = (2.5) 做变量变换x y u =，即ux y =，则u dx du x dx dy +=，整理后为：x u u g dx du -=)(，即为变量分离方程。
同时要注意：将一个方程转化为齐次方程求解时，两个方程是否同解（c 的范围是否相同）
4、2
22111c y b x a c y b x a dx dy ++++= (2.13) 做题步骤：①
k c c b b a a ===212121（常数），通解：c kx y += (c 为任意常数) ② 2
12121c c k b b a a ≠==，令y b x a u 22+=，有212222c u c ku b a dx dy b a dx du ++++=+=，为变量分离方程 ③ 2
121b b a a ≠，如果没有常数21c c 、，则很容易变成齐次方程做，（体会：）让分子分母都为零，则为两条曲线⎩⎨⎧=++=++00222
111c y b x a c y b x a (2.14)，两条曲线相交的交点为),(βα，而没有那两个常数时方程为都过原点的形式，因此过原点的这两直线可视为原坐标系平移后原直线在新坐标系下的坐标，令⎩⎨⎧-=-=β
αy Y x X ，(2.14) 变为
⎩⎨⎧=+=+0022
11Y b X a Y b X a ，从而 (2.13) 变为)(2211X Y g Y b X a Y b X a dX dY =++=，
§ 2.2 线性微分方程与常数变易法
1、
)()(x Q y x P dx
dy += (2.28) 做题步骤：① 考虑y x P dx
dy )(=，求出它的通解为：⎰=dx x P ce y )(；② 常数变易变为：⎰=dx x P e x c y )()((2.29) ③ 求微分得：⎰
+⎰=dx x P dx x P e x P x c e dx
x dc dx dy )()()()()( (2.30) ，④ 将(2.29)和(2.30)代入(2.28)，得到： ⎰=-dx x P e x Q dx x dc )()()(，⑤ 积分后得到⎰'+⎰
=-c dx e x Q x c dx x P )()()(，于是得到方程(2.28)的通解为： ))(()()(⎰'+⎰⎰=-c dx e x Q e y dx x P dx x P
2、伯努利微分方程n y x Q y x P dx
dy )()(+= 做题步骤：① 两边同除以n y ，得到)()(1x Q x P y dx dy y
n n +=--，② 设n y z -=1，得dx dy y n dx dz n --=)1( ③ 于是原方程变为：)()1()()1(x Q n z x P n dx
dz -+-=，即为线性微分方程 § 2.3 恰当微分方程与积分因子
1、恰当方程形式：0),(),(=+dy y x N dx y x M （M 、N 在已知区域上连续且具有一阶连续偏导数）
推理过程：① 若已知此微分方程是恰当方程能推出什么？先设原函数为),(y x u y
x u y N x y u y M ∂∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂22、 由条件得：y
x u x y u ∂∂∂=∂∂∂22即x N y M ∂∂=∂∂ ② 那么反过来若由它俩相等能否推出方程是恰当方程？ 从x u M ∂∂=出发，两边同时求积分：⎰⎰∂∂==x u Mdx u +c ，但c 若是常数那么？则应为：⎰⎰+=∂∂=)(y Mdx dx x u u ϕ ③ 对u 关于y 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰
ϕ，如何证明等式左边等于右边（方程有意义），即右边也与x 无关即只与y 有关？ 对右边关于x 求偏导
0=∂∂-∂∂=∂∂∂∂-∂∂⎰y M x N dx y M x x N （因为证充分，则y M x N ∂∂=∂∂为已知）④ 两端积分：dy Mdx y N y ⎰⎰
∂∂-=)()(ϕ，于是⎰⎰⎰∂∂-+=)(dy y M N Mdx u 做题步骤：① 先设u(x,y)，② 证明x
N y M ∂∂=∂∂，③ 从M 出发对方程两端同时求积分得)(),(),(y dx y x M y x u ϕ+=⎰，④ 对u 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰
ϕ，⑤ 两边积分得dy dx y M N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，⑥ 得⎰⎰⎰∂∂-+=dy dx y M N Mdx u )(。