习题1.2 1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+cy=e2x+e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x.2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2ydy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dxdy =yx xy y321++解：原方程为：dxdy =yy 21+31xx +yy 21+dy=31xx +dx两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：yy -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dxdy =-yx y x +-令xy =u 则dx dy =u+x dxdu 代入有：-112++uu du=x1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy .6. xdxdy -y+22yx-=0解：原方程为：dxdy =xy +x x ||-2)(1xy -则令x y =udxdy =u+ x dx du211u- du=sgnxx1dxarcsin xy =sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgydy =ctgxdx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=xc cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dxdy +yexy 32+=0解：原方程为：dxdy =yey2e x 32 ex3-3e2y-=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =xy lnx y 令xy =u ,则dxdy =u+ xdxduu+ xdxdu =ulnuln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy =cy.10.dxdy =e y x -解：原方程为：dxdy =e x e y -e y =ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1dx du -1=u 2211u+du=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dxdy =2)(1y x +解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1dxdu -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dxdy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c 14:dxdy =25--+-y x y x解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dxdy =41dxdu -4141dx du -41=u 2+3dx du =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dxdy =2222x -2 y x 2y+证明： 令xy=u,则x dxdy +y=dx du则dx dy =x 1dxdu -2xu ，有：u x dxdu =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
1） 令xy=u 则dxdy =x 1dxdu -2xu (1)原方程可化为：dxdy =x y [1+（xy ）2] (2) 将1代入2式有：x 1dxdu -2xu =xu (1+u 2)u=22+u +cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y 则与x 轴，y 轴交点分别为：x= x 0 -'0y y y= y 0 - x 0 y’则 x=2 x 0 = x 0 -'0y y 所以 xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =4π。
解：由题意得：y ’=xy y1dy=x1 dxln|y|=ln|xc| y=cx. α =4π则y=tg αx 所以 c=1 y=x.19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx 则：y=kx 2 +c 即为所求。
常微分方程习题2.1 1.xy dxdy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexx y c y x x cy c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c yx y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dxdy xy 321++=解：原式可化为：xxyxxyxyxyyx yccc c x dxx dy yyx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然10ln1ln ln 1ln 1,0ln0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsinln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dxdy x y cy ud uu dx xxy u dx x y dy x y ydx dy y x x cdy yyyydxdy c x y tgxdxctgydyctgxdy tgydx cx x xy cx x u dxxx du xdxdu dxdu xu dxdy ux y u xy y dxdy xc x arctgudxx du u u u dxdu xu dx du xu dxdy ux y u xy x y x y dxdy dx x y dy x y eeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。
另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。
两边积分得：变量分离，得：则令解：.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy yy dx xx xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：cx y x arctg cx arctgt dx dt dxdt dx dt dx dy t y x dxdy cdxdy dxdy tty x eeee exyxyyx +=++==++=+==+=+===+-)(,11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，12．2)(1y x dxdy +=解c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt tt tdxdt dxdt dxdy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组UU dXdU XU XY Y X Y X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dxdy U 21222'22,31,3131,31;012,0121212.132-+-==--=+=-==-==+-=--+---=.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22c x y x cx t dx dt t t t dxdt dxdt dx dy t y x y x y x dxdy y x t+-=+--+-=----=--===---+-=+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令15．18)14()1(22+++++=xy y x dxdy原方程的解。
，是，两边积分得分离变量，，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du uu dx du dx du dxdy x u y x y x xy y yx xdxdy +=++=++==+=+++++=+++++++=6)383232(941494141412)14(181816122222216．2252622yx xyxy dx dy +-=解：，则原方程化为，，令u yxxyx y dxdy x xy y xy dxdy =+-==+-=32322332322232]2)[(32(2)(126326322222+-=+-=xu x uxxu xudxdu，这是齐次方程，令cxx yx y c x y x yc x x yx y c x z z dx xdz dz zz z zx y x yz z z z z z zdx dz xdxdz xz z z dxdz xz dxdu z xu 15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.( (1)261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。