南模中学高三三模数学试卷
2019.05
一. 填空题
1. 若集合{|310}A x x =+>，{||1|2}B x x =-<，则A B =I
2. 若复数z 满足
1i
i z -=-，其中i 为虚数单位，则z = 3. 若函数1
()1f x x =+（0x >）的反函数为1()f x -，则不等式1()2f x ->的解集为
4. 试写出71
()x x
-展开式中系数最大的项
5.
若函数4y =a ，最大值为b ，则2lim 34n n n n
n a b a b →∞-=-
6. 已知平面上三点A 、B 、C
满足||AB =u u u r
，||BC =u u u r
||CA =u u u r
，则 AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
的值等于
7. 设P
是曲线tan x y θθ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
（θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中 点，则点M 的轨迹的普通方程为
8. 在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在 遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为
9. 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =中任取两个数，欲使取到的一个数大k 于，另一个数小 于k （k A ∈）的概率为
2
5
，则k = 10. 已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n
n a n =-⋅+（*n ∈N ），则这个数列的前n 项和为
n S =
11. 已知函数1
()f x x x
=-
，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =， 1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =
12. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，1
2log (1)[0,1)()1|3|[1,)
x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的
函数()()F x f x a =-（01a <<）的所有零点之和为 （结果用a 表示）
二. 选择题
13. 已知非零向量a r 、b r ，“函数2
()()f x ax b =+r r 为偶函数”是“a b ⊥r r ”的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
14. 若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ） A. 若a α⊥，a b ⊥，则b ∥α B. 若a ∥α，a b ⊥，则b α⊥ C. 若a α⊥，b α⊆，则a b ⊥ D. 若a ∥α，b ∥α，则a ∥b 15. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||
||
PF PA 的 最小值是（ ） A.
1
2
B. 22
C. 32
D. 233
16. 已知1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，则经过两点
211(,)A x x 、2
22
(,)B x x 的直线与圆22(1)(1)1x y -++=的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 随m 的变化而变化
三. 解答题
17. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =. （1）求四棱锥1A ABCD -的体积； （2）求异面直线1A C 与1DD 所成角的大小.
18. 已知函数()|2|f x x a a =-+.
（1）若不等式()6f x <的解集为(1,3)-，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在0x ∈R ，使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值范围.
19. 某景区欲建两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计）
，如图所示，已知AB AC ⊥，
60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，圆2M
与AC 、AD 分别相切于点C 、D . （1）若3
BAD π
∠=
，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）；
（2）若观景步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千米，则当BAD ∠多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）
20. 已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，且点3
(1,)2
P 在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过椭圆22
122:153
x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作圆224:3O x y +=的两条切
线，切点分别为M 、N （M 、N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分
别为m 、n ，证明：
22
11
3m n +
为定值； （3）若1P 、2P 是椭圆22
2223:1x y C a b
+=上不同的两点，12PP x ⊥轴，圆E 过1P 、2P ，且椭
圆2C 上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内圆，试问：椭圆2C 是否存在过左焦点1F 的内切圆？若存在，求出圆心E 的坐标，若不存在，请说明理由.
21. 若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，存在*m ∈N ，使得1
0m n
m n a c a c +-≤-，
则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”.
（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的分隔数列；
（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；
（3）设1n n c aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围.
参考答案
一. 填空题
1. 1(,3)3-
2. 1i -
3. 3(1,)2
4.
35x 5. 12
6. 8-
7. 22841x y -=
8. 200
9. 4或7
10. 1
1122212
2222
n n n n n k S n n k
++--⎧+-=-⎪⎪=⎨⎪+-=⎪⎩，*k ∈N
11. 2 12. 12n -
二. 选择题
13. C 14. C 15. B 16. C
三. 解答题
17.（1）4；（2
）. 18.（1）2a =；（2）8t ≥.
19.（1
）1r =
，260(2r =；（2）54.1°，867.1.
20.（1）22143x y +=；（2）3
4
；（3
）(2E -. 21.（1）证明略；（2）不是，反例：4n =时，m 无解；（3）0
2a q >⎧⎨≥⎩
.。