齐次线性方程组AX=0有非零解
其中A=(1 2 … m), X=(x1,x2,…,xm)T (8)设有n个n维向量1,2,…,n: 1,2,…,n线性相关|1 2 … n|=0; 1,2,…,n线性无关|1 2 … n|0.
(9) Rn中n+1个向量一定线性相关. (10)矩阵判别法.
011
1
0
1
1

(1 2 3 ) (1
故两向量组等价,等秩,
2
3
)

1 0
1 1
0 1
r(1 2 3 ) r(1 2 3) 3.
则 1, 2, 3 线性无关.
19
4.3.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系
定理4.4 r(An×m)=A的列向量组1,2, ,m的秩.
等价的向量组等秩
17
例2 设 1 1 2, 2 2 3, 3 3 1.
若向量组1, 2, 3线性无关,证明
向量组1, 2, 3也线性无关.
证1 由已知可以解得用1, 2,3 来表示
1, 2, 3的表达式:
2

1 2
(1

2

3
),
3
1
1 2
1 2
(1


2
(1 2

3) 3)
故两向量组等价,等秩, r(1 2 3)=3
r(1 2 3 ) =3 1, 2, 3 线性无关.
18
1 0 1
证2
(1

2

3
)=(1

2
3
)

1 0
1 1
0 1
101
Q 1 1 0 20
向量都线性相关. j (I如) 果j=1,…,r, j 显然可由1, 2 ,, r 线性表示;如果 j=r+1,…,m, 向量组1, 2 ,, r , j 一定
线性相关,所以 j ( j=r+1,…,m)可以由
1, 2 ,, r 线性表示 (I)可由(II)线性表示.
证 由1,2,…,m, 线性相关
存在不全为零的数k1,k2,…,km,l使得
k11 k22 L kmm l 0
下面证明只有l0, 反证法.
7
如果 l =0, 则有k1, k2,…,km不全为零,使
k11 k22 L kmm 0
于是1, 2, … , m 线性相关,与已知矛盾.
从而 l 0. 故有



k1 l
1

k2 l
2
L

km l

m
即 可由1, 2, … , m线性表示.
下面来证明表示的唯一性.
8
假若 有两种表示法,设
k11 k22 L kmm l11 l22 L lmm
两式相减,得
(k1 l1)1 (k2 l2)2 L (km lm)m 0
③表示系数对应相同
m
当i 时k j, j j 1 ji
m
i k j j j 1 ji
行初等变换不改变A的秩,不改变
列向量组之间的线性关系.
23
例4 求矩阵A列向量组的一个极大无关 组和秩, 并把其余列向量用所求出 的极大无关组线性表示.
1 2 1 0
A1 1
复习线性相关性的判定理论
单个向量组成的向量组 : (1)若 = 0, 则线性相关; (2)若 0, 则线性无关. 两个向量组成的向量组, :
(1)若对应分量成比例,则线性相关; (2)若对应分量不成比例,则线性无关.
1
设有n维向量组成的向量组:1,2,…,m
(1)包含0向量线性相关.
3
4.3 向量组的秩
本节 主要内容
1. 极大线性无关组与秩; 2. 向量组的等价; 3.向量组的秩与矩阵的秩的关系.
4
4.3.1 向量组的极大无关组与秩
定义1 设S是n维向量构成的向量组,在S中
选取r个向量 1,2,,如,果r满足
(1) 1,2,L ,r线性无关 (2)任取 S,总有 ,1,线2,L性,相r关.
求向量组的秩和极大无关组.
解 因 1 , 2 线性无关 ,且 3 = 1+ 2
所以1 , 2为极大无关组,
故
秩( 1, 2 , 3 ) =2.
可知1 , 3和2 , 3也都是极大无关组.
6
线性表示唯一性定理
定理4.2 设n维向量1,2,…,m线性无关, 而1,2,…,m , 线性相关, 则 可由 1,2,…,m 线性表示, 且表法唯一.
001
2 , 3 , 4是该向量组的一个极大无关组.
26
解法2
1120
设 A=(1,2,3,4 )=
由1,2,…,m 线性无关,得
ki li (i 1, 2,L , m) 故 可由1,2,…,m 唯一线性表示.
9
4.3.2 向量组的等价
定义2 设有两个 n 维向量组
(I) 1,2,L ,r; (II) 1, 2,L , s
若(I)中每个向量都可由(II)线性表示, 则称 向量组(I)可由向量组(II)线性表示.
若(I)线性无关,且(I)可由(II)
线性表示,则 r ≤ s .
14
证 因为向量组(I)可由(II) 线性表示, 故有
1


k111

k21
LL
2

L
ks1 s
r k1r 1 k2r 2 L ksr s
k11 k12 L k1r
(1,2 ,L
不妨设(II) 1,2 ,L ,r 是(I)的一个
极大无关组.
12
(1) i ( i = 1,2,…,r) (II), 由 i 01 L 1i L 0r 0r1 L 0m
即(II) 可由(I) 线性表示.
(2)由定义1知, 1, 2 ,, m中任意r+1个
且r >s, 则(I) 线性相关.
推论2 若(I)、(II)都线性无关,且(I)与(II)
等价,则 r = s .
等价的无关向量组必然等秩
向量组的两个极大无关组所含向量个数相等 推论3 若(I)可由(II)线性表示,则
秩(I)≤秩(II) .
16
证 设r(I)=r , r(II)=s , (I´),(II´)分别是(I), (II) 的极大无关组,显然(I´), (II´)含向量的 个数分别是r 与 s . 因为(I´)可由(I) 线性表示, (I)可由(II) 线性表示,而(II)可由(II´)线性表示,所以 (I´)可由(II´)线性表示.由定理4.3有r s.
分析 记r(A)=r,往证 1,2,的,秩m为r, 即
只要证 1,2,的,极m大无关组含r个向量.
证 r(A)= r
A存在r阶子式 Dr ≠0
记 Dr 对应的r 列为 i1 ,i2 ,L ,ir ,
是r 维线性无关向量的接长,仍线性无关.
j A, 下证 j ,i1 ,i2 , ,ir
(m2)
(2)包含成比例的向量线性相关.
(3)线性相关存在一个向量可由其余的
向量线性表示.
(4)线性无关任何向量都不能由其余的
向量线性表示.
(5) 增加(减少)个数不改变相(无)关性.
(6) 增加(减少)维数不改变无(相)关性.
2
(7) 向量组1,2,…,m线性相关性 x11+x22+…+xmm=0有非零解
25
例5 设有向量组
1
1
2
0
1=
0 1
， 2=
1 0
， 3=
1 1
， 4=
0 1
0
0
0
1
求向量组的(1)秩;(2)极大无关组;(3)表示系数.
解法1
1120
设 A= (1,2,3,4 )= 0 1 1 =1≠0 而 |A|=0 知秩=3,
Bi=0, i=1,…,mB=0. 其余情况可以类似得到.
22
极大无关组和秩的求法
初等变换法 n维列向量组S: 1,2 ,L ,m 将A=(1,2, ,m ) 行 (1, 2, , m)=B 则向量组 1,2 ,L与,m 1, 2,L , m
①秩等; ②极大无关组的位置对应相同;
4 3
1 0
4 2

1 2 3 4
解 通过初等行变换把A化为行最简形
1 2 1 0 1 2 1 0 A 1 4 1 4 0 2 2 4
1 3 0 2 0 1 1 2
24
1 2 1 0 1 2 1 0 0 2 2 4 0 1 1 2
是线性相关的,
20
因为 ① j 在 i1 , i2 , …,ir 中; j ,i1 ,i2 , ,ir线性相关.
② j 不在 i1 , i2 , …,ir 中,
r+1列对应的子矩阵记为A1 ,
而
r(A1)≤ r(A)= r ＜r +1
所以 j ,i1 ,i2线,性,相ir 关,
则称向量组 1,2,为,向r量组S的一个
极大线性无关组(简称极大无关组). 数 r 称为该向量组的秩,记为
r(1, 2, … , s)= r 或秩(1, 2, … , s)= r
5
例1 设有向量组 1 = (1, 1, 1)T, 2 =(2,1, 0)T, 3 =(3,2,1)T,
0 1 1 2 0 0 0 0
1 0 3 4 1 0 3 4 0 1 1 2 0 1 1 2 B
0 0 0 0 0 0 0 0