一个基础解系。证明： ， 1 ，… n r 线性无关。
*
3
e2 (0,1,0)T ， e3 (0,0,1)T 下的矩阵是------------------。
10．设矩阵 A＝ aij ，其特征多项式为 f | E A | n a1 n1 … an1 an ，若用
nn
A 的元素表示 f 的系数，我们有 a1 ＝------二（15 分） 、 t 取何值时，非齐次线性方程组
3 5 2 0
1 1 0 5
1 2 3 4 1 3 1 3
，D 的 (i, j ) 元的代数余子式记作 Aij ，则 A43 A44 =
。
7．设 A＝ aij
是一 n 阶正定矩阵，而 ， R n ，在线性空间 R 中定义内积； nn
n
n
（ ， ）＝ A ，则 R 关于这种内积构成一个 Euclid 空间。在此定义下，计算 n 维 向量 (1,
3．设 A 是 4 阶方阵， A 3 ，则 2 A2 。
。
1 1 2 t 的秩最小，则 t 4．要使矩阵 A 1 1 2 3 4
。
5．设 3 阶矩阵 A 的特征值 1，-2，3，则 | A3 5 A2 7 A | =
。
6．设 D
化成标准形。
a b c 四 (16 分)、 设 R 是实数域， V 0 a b a, b, c R 。 0 0 a
（1） 、证明 V 关于矩阵的加法和数量乘法构成 R 上的线性空间。
a1 （2） 、任意的 A 0 0
1 ， 0 ，… 0)' 的长度
。
8．如果 A 是正交矩阵。若 k 是实数，使得 kA 为正交矩阵，则 k= -------。
T 9 ．在 R 中，线性变换 A ( x1 , x2 , x3 )T (3x1 x2 , x2 x3 , x1 )T ， 那么 A 在基 e1 (1, 0, 0) ，
明 V 是欧氏空间。
a2 a1 0
a3 b1 b2 a2 ，B 0 b1 a1 0 0
b3 b2 定义二元函数 ( A, B) a1b1 a2b2 a3b3 。证 b1
五 (15 分)、 证明：如果 是 n 维欧氏空间的一个正交变换，那么 的不变子空间的正交 补也是 的不变子空间。
an ＝----------- 。
tx1 x1 x 1
x2 tx2 x2

x3 x3

1 t
tx3
t2
（1） 、有唯一解； （2） 、无解； （3） 、有无穷多解，并求出通解。
三（24 分） 、求一个正交变换把下列二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 2 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8x2 x3
2014 年上海海事大学攻读硕士学位研究生入学考试试题
（重要提示：答案必须做在答题纸上，做在试题上不给分）
考试科目代码
一 填空题： （50分）
考试科目名称
高等代数
1． 11 5 3 ， 2 4 7 Leabharlann ，则 T ＝TT
。
67 98 19 2．设三阶方阵 A 0 yx 2 可逆，则 x, y 应满足条件 0 x x
六（15 分） 、 设 A 是 n 阶矩阵 n 2 并且 rank( A) n 1 . 证明: rank ( A* ) 1 . 其中 A* 表 示 A 的伴随矩阵。
七（15 分） 、设 * 是 n 元非齐次线性方程组 AX=b 的一个解， 1 ，… n r 是对应的齐次线性方程组的