知识结构
直
勾股定理
角
三
角
形 判定直角三角形的一种方法
应用
勾股定理
a + b = c 如那果 么直角2三角形两2 直角边2分别为a，b，斜边为c，
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定
1、从角的关系判定:
(1)直角 (2)两内角互余
2、从边的关系判定:
Ⅰ、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形 Ⅱ、两边互相垂直
∴△ABC
的面积=
1 2
BC·AD=
1 2
×6×4=12（cm）
(3)设腰 AB 上的高为 h cm，
则有 S△ABC
1 2
AC
h
24
即腰 AB 上的高为 5 cm
∴h=
2S△ABC AC
2 12 5
24 5
变式1：若一个直角三角形的两直角边的长分别为
6cm、 8cm，则斜边上的高为
cm。
变式2：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC
上移动，则BP的最小值是
。
例2、如图，已知在△ABC中，D是AB上的一点， AC=20，BC=15，DB=9,CD=12。求AB的长。
▪ 变式3：如图，△ABC的三边分别为AC=5， BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使 AC落在AB上。
▪ （1）证明：△ABC是直角三角形；
▪ （2）求CD的长。
二、聚焦期末 例5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB， DE与AC交于点D，与AB交于点E。 （1）当∠A=35°时，求∠CBD的度数； （2）若AC=4，BC=3，求AD的长； （3）当AB=m（m＞0），△ABC的面积为2m+4时，
求△BCD的周长。（用含m的代数式表示）
例3、“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题:“今有池
一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深,
葭长各几何?”题意是:有一个边长为1O尺的正方形池塘,
一棵芦苇AB生长在它的中央,高出水面l尺，即BC=1尺。如
果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水
面 (如图)。问水深和芦苇长各多少?(画出几何图形并解
课堂小结
答)
B
C
B/
A
变式4：小东拿着一根长竹竿进一个宽 为３米的城门，他先横拿着进不去，又 竖起来拿，结果竹竿比城门高１米，当 他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的 对角，问竹竿长多少？
1m
x (x+1)
3
变式5：如图，公路AB总长为25km，C、D为两工厂（视为 两点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km， CB=10km，现在要在公路AB上建一所医院E，使得C、D两工 厂到医院的距离相等。
（1）试用尺规作图，在图中画出医院E的位置；
（2）问：医院E应建在距公路A端多远处？
例4、如图，在四边形ABCD中，AC平分 ∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9。求AC 的长。
变式6：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，BD是∠ABC的平分线， AD=BD=5，BC=4， 求AB的长。
例题精选
例1、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，底边 BC=6cm，AD为底边上的高。
求：（1）AD的长；（2）△ABC的面积；（3）腰AB上的高。
解:(1)∵AB=AC，AD 为底边上的高
∴BD=CD= 1 BC= 1 ×6=3（cm）
2
2
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得：
AB= AB2 AD2 52 32 =4(cm) （2）∵AD 为地边上的高
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,
则有 a2+ b2=c2
Ｒt△
直角边a、b，斜边c
a2+b2=c2 互
逆
形
数
命
a2+b2=c2
题
逆 定
Ｒt△
三边a、b、c
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则
这个三角形是直角三角形; 较大边c
理: 所对的角是直角.
勾股数
满足a2 +b2=c2的三个正整数 a、b、c，称为勾股数.