证明方法
(a+b)(a+b)-2ab=c2 a2+b2+2ab-2ab=c2 a2+b2=c2
证明方法
勾股数组
勾股数组：满足与方程a2+b2=c2正整数
组（a，b，c）被称为勾股数组。
勾股数组的公式：
1. 1/2(m2-n2),mn,1/2(m2+n2) 2. 2x+1,2x2+2x,2x2+2x+1
பைடு நூலகம்
生命的代价
有一位名叫商高（约公 元前560年~公元前480年） 的数学家，以他为代表的一 批学者组成了商高学派，既 是学习团体，又是政治、宗 教团体，有严格的清规戒律。 比如，会员必须宣誓“决不 把知识传授给外人”，否则 要受到严重处分，甚至极 刑——活埋。
在西方人们认为勾股定理是毕达哥拉
斯先发现的，并称之为“毕达哥拉斯定 理”。不过早在公元前1120年左右中国的 商高就在对话中说到：“故折矩，此为勾 广三，股修四，经隅五。”你可能认为这 是最早的勾股定理，但是具调查在公元前 1900年的一块巴比伦上午泥板中，记载了 15组勾股数。所以古巴比伦人才是勾股定 理最先的发现人。
b
c
a
勾股定理的别称 勾股定理的证明 勾股数组 勾股定理的作用
勾股定理的别称
商高定理 毕达哥拉斯定理 百牛定理 埃及三角形 驴桥定理
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头， 记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：
周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教 一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段 一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”
(2)若a=9,b=40,则c=_4_1____. 2.在 ABC中, C=90°,若 AC=6,CB=8,则ABC面积为 __2_4__,斜边为上的高为_4_._8___.
3．若等腰三角形中相等的两边长 为10cm,第三边长为16 cm,那么第 三边上的高为 ( D)
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm
设AE=xcm，则EC=(10－x)cm
在Rt△ABC 中，根据勾股定理：
C E
BE2=BC2+EC2 x2=62＋ (10－ x解)2得x=6.8 ∴EC=10－
6.8=3.2cm
例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距 离是多少？
思考题
回顾与思考 -----------勾股定理
1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
2、请你举一个生活中的实例，并应用勾股定理解决它。
课堂练习：
一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12,
则BC=13 ( )
2. ABC的a=6,b=8,则c=10
( )
二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则 a=__6__,b=_8__.
7 .观察下列表格：
列举
3、4、5
……
5、12、13
7、24、25
13、b、c
猜想
32=4+5 52=12+13 72=24+25
…… 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= 84 ，c= 85
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？
= DE2- BE2 = (DE+BE)·( DE- BE) = (DE+CE)·( DE- BE) =BD·CD
5、已知：数7和24，请你再写一个整数， 使这些数恰好是一个直角三角形三边的长， 则这个数可以是—25—
6、一个直角三角形的三边长是不大于１ ０的三个连续偶数，则它的周长是—2—4 ——
D. 6 cm
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·CD
A
证明：过A作AE⊥BC于E
∵AB=AC，∴BE=CE
D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 B E
C
在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形 体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得 到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等 于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原
理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
毕达哥拉斯出生于萨摩斯岛，自幼聪明好 学，曾在名师门下学习几何，自然学和哲学。 后来来到巴比伦，印度和埃及，吸收了阿拉伯 文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养。大 约在公元前530年，又返回萨摩斯岛，后来又 迁居意大利的克罗通，创建了自己的学术。毕 达哥拉斯学术认为数最崇高，最神秘，他们所 讲的是整数。可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯到 了晚年不仅学术保守，还反对新生事物，最后 死与非命
B C 20
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有 两种情况(如图①② ),由勾股定理可求 得图1中AB最短.
勾股数组的规律:
1. 2奇1偶 2.如果a,b,c是两两互素的勾股数,那a,b 必定1奇1偶,c必为奇数
勾股定理 外星人
在人类在寻找“外星人” 时，碰到个难题；一 旦遇到“外星人”该怎么与他们交谈？显然用人类 的语言文字音乐是不行的。数学家华罗庚建议，用 一幅数形关系作为与“外星人”交谈的语言。这幅 图中有边长为3、4、5的正方形，它们又互相联结成 一个三角形。三个正方形都被分成了大小相等的一 些小方格，并且每条边上的小方格的个数，与这条 边长度的数字相等。两个小方形的小方格数分别为9 和16，其和为25，恰好等于大方形的小方格数。整 幅图反映；“在直角三角形中，两条直角边的平方 和等于斜边的平方。”
A
A
解：台阶的展开图如B图：连结AB
在Rt△ABC中根据勾股定理
AB2=BC2＋AC2
＝552＋482＝5329
∴AB=73cm C
B
8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D A
B
解：连结BE
由已知可知：DE是AB的中垂线， ∴AE=BE