E ( ( x)) E ( ( x)) for all 0. (9)
特别地， ( x)也是检验问题
H0： 0， H1： 1 (1 0 )
的水平为的MPT， 根据N-P引理知 ( x)具体
表示式为
(
x)
1,
0,
x
0
n
u1
,
x
0
n u1 ,
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此时MPT ( x)的功效为
则水平为的MPT的拒绝域为
W1
x：x
0
n
u1
.
而对检验问题
H0： 0， H1： 1(1 0 ),
则水平为的MPT的拒绝域为
W2
x：x
0
n
u
.
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这说明对检验问题
H0： 0， H1： 0
相应MPT的拒绝域与备择假设有关， 因此一致
最优功效检验(UMPT)就不一定存在。那么在什
和假设检验问题
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H0：
，
0
H1： 0
可以分别化为假设检验问题
H0：
，
0
H1： 0
和假设检验问题
H0：
，
0
H1： 0
同样可以使用定理8.1来求UMPT。
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例9.3 设某种设备的寿命服从参数为 的指数
是检验问题(8)的水平为的检验。现在令( x)
是检验问题(8)的任一水平为的检验，它显然也
是检验问题(9)的水平为 的检验。又由于 ( x)
是检验问题(9)的水平为 的MPT， 所以对任意
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给定的 1( 0), 有 E1 ( ( x)) E1 ( ( x)).
由于1( 0)的任意性，即就是说对所有的 0
(1) 水平为 的UMPT存在，其检验函数为
1, T ( x) c,
( x) r, T ( x) c,
0, T ( x) c,
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（10）
其中常数c 和 r [0,1]有下式确定
E0 ( ( x)) . (2) 水平为的UMPT的功效函数E ( ( x))是
的增函数。
有关这个定理的详细证明可参看Bickel P.J. 《Mathematical Statistics --Basic Ideas and Selected Topics》
E ( ( x))
P { x
0
n
u1
}
n (
0 )
u
.
由分布函数的非减性知， E ( ( x))是的严格
单调增函数， 所以当 0时有
E
( ( x))
n
(
0 )
u
(u ) ,
这与(9)矛盾，故结论成立。
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我们将N-P引理应用这个例子， 对检验问题
H0： 0， H1： 1(1 0 ),
都有
E ( ( x)) E ( ( x))，
所以 ( x)是检验问题(8)的水平为的UMPT。
由此例可知对简单原假设对简单备择假设检
验问题，如果MPT不依赖于备择假设的参数，则 可适当扩大备择假设，并由MPT获得UMPT。这 扩大了N-P引理的应用范围。
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例9.2 设X1, X2 , , Xn是来自正态总体N ( , 2 ) 的简单样本， 2已知。 试证明检验问题
么情况下UMPT存在？ 若存在，如何来求？ 为
了方便我们将检验问题分成单边检验问题和双边
检验问题： H0： 0；H1： 0 ,
单边检验问题
H H
0： 0：
0；H1： 0；H1：
0, 0,
H ： ；H 0第10页/共36页0 1： 0 .
双边检验 问题
H H H
0： 0： 0：
(Uniformly Most Powerful Test)
对复合假设检验而言， UMPT的存在性不 但与总体的分布有关， 而且与所考虑的假设检 验问题有关。为了说明问题，我们先看下面两个 例子。
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例9.1 设X1, X2 , , Xn是来自正态总体N ( ,1) ( 0) 的简单样本。 求检验问题
有下面的判断定理。
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定理9.1 如果样本x1, x2 , , xn的联合密度(或分布
率) p( x, ) 是单参数的并可表示为
p( x, ) d( )h( x)exp{c( )T ( x)},
其中是实值参数，且c( )关于的严格单调增
函数， 则对单边检验问题
H0：
，
0
H1： 0
H0： 0， H1： 0 (8) 的水平为(0 1)的UMPT。
解 由例8.1可知，检验问题
H0： 0， H1： 1(1 0) (9) 水平为 的最优功效检验具有拒绝域
W
x：x
u1 n
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或检验函数
(
x
)
1,
0,
x u1 , n
x u1 . n
由于检验函数 ( x)与1( 0)无关，所以 ( x)也
0；H1： 0 , 1 2；H1： 1或 1或 2；H1：1
2, 2.
并分别进行讨论。
（一）单边假设检验
从例9.1可知，在有些情况下，关于单边假设检
验问题 H0 : 0; H1 : 0(or 0 )存在
UMPT。但一般来说对单边检验问题，由于MPT
依赖于参数的备选值， 所以UMPT可以不存在。 那么在什么情况下UMPT存在及如何求呢？我们
注意： (1) 有关r和c 的确定方法可参看N-P引理的注。
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(2) 如果定理中的 c( )是 的严格单减函数，则
定理的结论同样成立， 只需要将(10)中的不 等号改变方向。
(3) 对假设检验问题
H0：
，
0
H1： 0
则定理8.1的结论全部成立。
(4) 对假设检验问题
H0：
，
0
H1： 0
H0： 0， H1： 0 的水平为(0 1)的UMPT不存在。
证明 反证法
假设所考虑检验问题的水平为 (0 1)
的UMPT是 ( x)，则对任何水平为的检验
( x), 有 E ( ( x)) E ( ( x)) for all 0 .
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由于( x) 是水平为的检验， 因此有
一、一致最优功效检验
设统计模型为 {P , }，考虑检验问题 H0： 0， H1： 1 (7)
对这个一般的假设检验问题给出最优检验的定 义如下：
定义9.1 在检验问题(7)中，设 ( x)是水平为 的检验，如果对任一水平为的检验 ( x)，有
不等式
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E ( ( x)) E ( ( x)) 对所有的 1都成立， 则称 ( x)是水平为 的一致最优功效检验， 简记为UMPT。