2015－2016 学年 第一学期期末试卷
参考答案
学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日
考试科目：《数理统计》（B 层）
一、填空题（本题共16分，每小题4分）
1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量2
21
()
n
k
k x c
x
x η==-∑服从F -分布，其中1
1n
k k x x n ==∑。
（(1)n n -）
2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则
当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ
=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中1
1n
k k x x n ==∑。
（1n n -）
3．设总体X 的密度函数为22
,[0,]
(;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是
来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。
（()n x ） 4．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，已知样本均值 4.25x =，
μ的置信度为0.95的双侧置信区间下限为3.1，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为(,)。
（(3.1,5.4)）
二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为
2
2
2
1
1()exp{(1)}4n
n
i
i L x σσ
==-
-∑
对数似然函数为
2
2
221
1ln ()(ln(4)ln )(1)24n i i n L x σπσσ==-+--∑
求导，有
22
224
1
ln ()1(1)24n i i L n x σσσσ=∂=-+-∂∑ 令22
ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2
21
1ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。
（2）因为
2
2
122
1
1(,,,;)exp{(1)}4n
n
n i
i f x x x x σσ
==-
-∑
令2()n c σ=，()1h x =，22
1()4w σσ
=-
，，由于2()w σ的值域(,0)-∞有内
点，由定理2.2.4知21(1)n
i i T x ==-∑是完全充分统计量。
而
2
221
1
((1))(1)2n
n
i i i i E x E x n σ==-=-=∑∑
因而2
2
11ˆ(1)2n i i x n σ==-∑既是完全充分统计量21
(1)n
i i T x ==-∑的函数，又是2σ的无偏估计，由定理2.2.5知2
21
1ˆ(1)2n
i i x n σ==-∑是2σ一致最小方差无偏估计。
（3）224112
ˆ()((1))4Var Var x n n
σ
σ=-=。
因为
222
222223
ln (;)11(1)()2()2()
f x x σσσσ∂=--∂ 所以
222
2222223
ln (;)11
()()(1)()2()2()
f x I E E x σσσσσ∂=-=-+-∂ 22
22
4
1112()()2σσσ=-
+
=
从而4222
2
2(())ˆ()()
Var n nI σσσσ'==，即信息不等式等号成立，故2
211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑是2σ的有效估计。
三、（本题12分）已知某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布)30,80(2N ,断裂强度的单位是kg/cm 2。
为提高钢索断裂强度，改进生产工艺，现从新工艺下
生产的钢索中抽取9根，测得断裂强度的平均值为100x =（kg/cm 2）。
设新工艺下钢索强度仍服从正态分布，且总体方差不变。
在显著性水平0.05α=下，是否可以认为新生产的钢索断裂强度较以往钢索断裂强度有显著提高？即需要检验假设检验问题
0100::μμμμ>=H H
进一步计算犯第二类错误的概率()βμ，并讨论()βμ关于μ的单调性。
解：假设检验问题为
检验统计量为n
x u 2
σ
μ-=
，拒绝域为}:),,,{(12
21ασ
μ-≥-=
=z n
x u x x x W n 。
由于95.0265.1230
3
209
3080100z u =>=⨯
=-=
，所以拒绝假设0H ，认为这批钢索断裂强度较以往钢索断裂强度有显著提高。
犯第二类错误的概率为
}{
1)(95.02
z n
x P ≥--=σ
μμβμ
}{
95.02
z n x P <-=σ
μμ
}{
2
95.02
n
z n x P σ
μμσ
μ
μ--
<-=
)(2
95.0n
z σ
μμ--
Φ=
))80(1.065.1(-⨯-Φ=μ
其中0μμ>，)(μβ是μ的单调减函数。
四、（本题10分）考虑某四因子二水平试验，除考察因子D C B A ,,,外，还需考察交互作用B A ⨯。
今选用表)2(78L ，表头设计及试验数据如表所示，所考虑指标是越大越好。
试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。
因素的主次顺序为,;,,A C A B B D ⨯，较优工艺条件为1122A B C D 。
五、（本题10分）随机向量),,(321x x x 的协方差矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=∑410120001
（1）根据主成分%80的选取标准，应选取几个主成分？
（2）试求第一主成分。
解：由04
1
12
00
01
||=---=
∑-λλλλI ，可得特征值为 4142.4231≈+=λ，5858.1232≈-=λ，13=λ
而
%80%06.6374142.43211<==++λλλλ，%80%71.857
6
32121>==+++λλλλλ，
故选两个主成分。
（2）由于⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+-++211012
100
022→⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-+211021100022
→⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+00021100022，对应的齐次方程组为 ⎩⎨
⎧=+-+=+0
)21(0
)22(321x x x 一组非零解为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1210321x x x ，从而对应于特征值4142.4231≈+=λ的单位特
征向量为
⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=9239.03827.0012102241
321a a a a
所以，第一主成分为3219239.03827.0x x y +-=。