SV ABN AB CB 10
∴ SV AMN
8n SV ABN
1 (8 n)(n 2)
1 (n 3)2 5 ．
6
10
5
5
分
∴当 n=3 时，即 N（3，0）时，△AMN 的面积最大．
7
分
（3）当 N（ 3， 0）时， N 为 BC边中点 .
∴M 为 AB 边中点，∴ OM
1 AB.
2
8分
∵ AB OB 2 OA 2 4 16 2 5 ，
2
24.在平面直角坐标系 xoy 中，规定：抛物线 y a x h k 的伴随直线为
2
y a x h k .例如：抛物线 y 2 x 1 3 的伴随直线为 y 2 x 1 3 ，即
y 2x 1.
（1）在上面规定下，抛物线 y
2
x 1 4 的顶点为
.伴随直线
为
；抛物线 y
5
位于 x 轴下方。直线 PM / / y 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交与点 M 、 N 。
①连结 PC、PD ，如图 12-1，在点 P 运动过程中， PCD 的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
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②连结 PB ，过点 C 作 CQ PM ，垂足为点 Q ，如图 12-2。是否存在点 P ，使 得 CNQ 与 PBM 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说 明理由。
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∴ PN= t+3﹣（ t2﹣ t+3） =﹣ （t ﹣ ） 2+
联立直线 CD与抛物线解析式可得
，解得
或
，
∴ C（ 0， 3）， D（7， ）， 分别过 C、 D 作直线 PN 的直线，垂足分别为 E、F，如图 1，
则 CE=t， DF=7﹣ t，
∴ S△PCD=S△PCN+S△PDN= PNCE+ PNDF= PN= [ ﹣ （t ﹣ ）2+
【分析】 （1）由 A、 B 两点的坐标，利用待定 系数法可求得抛物线解析式； （ 2）①可设出 P 点坐标，则可表示出 M 、 N 的坐标，联立直线与抛物线解析式 可求得 C、D 的坐标，过 C、D 作 PN 的垂线，可用 t 表示出△ PCD的面积，利用 二次函数的性质可求得其最大值； ②当△ CNQ与△ PBM 相似时有 = 或 = 两种情况， 利用 P 点坐标， 可分 别表示出线段的长，可得到关于 P 点坐标的方程，可求得 P 点坐标． 【解答】 解： （ 1）∵抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（5 ，0），
AC
OC 2 OA 2
64 16 4 5 ，
∴ AB
1 AC,
2
9分
∴
OM 1 AC ．
4
10 分
24（2017 海南） .抛物线 y ax 2 bx 3经过点 A 1,0 和点 B 5,0 。
（ 1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（ 2）该抛物线与直线 y
3 x
3 相交于 C、 D 两点，点 P 是抛物线上的动点且
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2017 中考数学全国试题汇编 ------二次函数中三角形面积最大值综合题
28．（ 2017 甘肃白银）如图，已知二次函数 y ax2 bx 4 的图象与 x 轴交于点 B 2,0 ，点 C 8,0 ，与 y 轴交于点 A ．
（ 1）求二次函数 y ax 2 bx 4 的表达式；
（ 2）连接 AC, AB ，若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B,C 重合），过点 N 作 NM / / AC ，交 AB 于点 M ，当 AMN 面积最大时，求 N 点的坐标； （ 3）连接 OM ，在（ 2）的结论下，求 OM 与 AC 的数量关系． 解：（ 1）将点 B，点 C 的坐标分别代入 y ax2 bx 4 ，
去），此时 P（ ，﹣ ）；
综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为（ 2， ）或（ ，﹣ ）． 【点评】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、二次 函数的性质、相似三角形的判定和性质、 方程思想及分类讨论思想等知识． 在（ 1） 中注意待定系数法的应用，在（ 2）①中用 P 点坐标表示出△ PCD的面积是解题 的关键，在（2）②中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键． 本 题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
∴
，解得
，
∴该抛物线对应的函数解析式为 y= x2﹣ x+3； （ 2）①∵点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方， ∴可设 P（ t ， t 2﹣ t +3）（ 1＜ t ＜5）， ∵直线 PM∥ y 轴，分别与 x 轴和直线 C D 交于点 M 、N， ∴ M（t， 0）， N（t ， t+3），
4a 2b 4 0
得：
，
64a 8b 4 0
1分
解得 a
1，b 3．
4
2
∴该二次函数的表达式为
y
1 x2
3 x
4．
42
3分
（2）设点 N 的坐标为（ n，0）（ 2＜ n＜8），
则 BN n 2 ， CN 8 n ．
∵B（-2， 0） , C（8，0）,
∴BC=10.
令 x 0 ，解得： y 4 ，
∴ =， ∵ P（ t， t 2﹣ t +3）， M（t ，0）， B（5，0）， ∴ BM=5﹣t ，PM=0﹣（ t 2﹣ t+3）=﹣ t 2+ t﹣3， 当 = 时，则 PM= BM，即﹣ t2+ t ﹣3= （5﹣t ），解得 t=2 或 t=5（舍
去），此时 P（2， ）； 当 = 时，则 BM= PM，即 5﹣t= （﹣ t2+ t ﹣3），解得 t= 或 t=5（舍
∴点 A（ 0， 4）， OA=4， ∵MN∥AC，
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∴ AM NC 8 n ．
AB BC 10
4分
∵OA=4，BC=10，
∴ SV ABC 1 BC OA 1 4 10 20 ．
5
2
2
分
1
1
SV ABN
BN OA （n+ 2） 4=（2 n+ 2）
2
2
又 Q SV AMN
AM
CN 8 n ,
﹣ ）2+
，
] =﹣ （ t
∴当 t= 时，△ PCD的面积有最大值，最大值为
；
②存在．
∵∠ CQN=∠PMB=9°0 ， ∴当△ CNQ与△ PBM 相似时，有 ∵ CQ⊥PM，垂足为 Q，
= 或 = 两种情况，
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∴ Q（t， 3），且 C（0，3）， N（t， t+3），
∴ CQ=t， NQ= t +3﹣3= t，