得：
4a 2b 4 0 64a 8b 4 0
，
1分
解得： a 1 ， b 3 ．
4
2
∴ 该二次函数的表达式为
y 1 x2 3 x 4．
3分
42
（2）设点 N 的坐标为（n，0）（ 2＜n＜8），
则 BN n 2 ， CN 8 n ．
∵ B（-2，0）, C（8，0）, ∴ BC=10. 令 x 0 ，解得： y 4 ， ∴ 点 A（0，4），OA=4，
②当△CNQ 与△PBM 相似时有 = 或 = 两种情况，利用 P 点坐标，可分 别表示出线段的长，可得到关于 P 点坐标的方程，可求得 P 点坐标． 【解答】解： （1）∵抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（5，0），
∴
，解得
，
∴该抛物线对应的函数解析式为 y= x2﹣ x+3； （2）①∵点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方， ∴可设 P（t， t2﹣ t+3）（1＜t＜5）， ∵直线 PM∥y 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M、N， ∴M（t，0），N（t， t+3）， ∴PN= t+3﹣（ t2﹣ t+3）=﹣ （t﹣ ）2+
和
；
（2）如图，顶点在第一象限的抛物线 y m x 12 4m 与其伴随直线相交于
位于 x 轴下方。直线 PM / / y 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交与点 M、N 。
①连结 PC、PD ，如图 12-1，在点 P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结 PB ，过点 C 作 CQ PM ，垂足为点 Q ，如图 12-2。是否存在点 P ，使
得 CNQ 与 PBM 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说
明理由。
【分析】（1）由 A、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）①可设出 P 点坐标，则可表示出 M、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式 可求得 C、D 的坐标，过 C、D 作 PN 的垂线，可用 t 表示出△PCD 的面积，利用 二次函数的性质可求得其最大值；
联立直线 CD 与抛物线解析式可得
，解得 或
，
∴C（0，3），D（7， ）， 分别过 C、D 作直线 PN 的直线，垂足分别为 E、F，如图 1，
则 CE=t，DF=7﹣t， ∴S△PCD=S△PCN+S△PDN= PNCE+ PNDF= PN= [﹣ （t﹣ ）2+
﹣ ）2+
，
]=﹣ （t
∴当 t= 时，△PCD 的面积有最大值，最大值为 ； ②存在．
AC OC2 OA2 64 16 4 5 ，
∴ AB 1 AC, 2
∴ OM 1 AC ． 4
24（ 海南）.抛物线 y ax2 bx 3经过点 A1, 0 和点 B 5, 0 。
9分 10 分
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线 y 3 x 3 相交于 C、D 两点，点 P 是抛物线上的动点且 5
求二次函数中三角形面积最大值压轴题专题汇编
28．（ 甘肃白银）如图，已知二次函数 y ax2 bx 4 的图象与 x 轴交于点 B 2, 0 ， 点 C 8,0 ，与 y 轴交于点 A ．
（1）求二次函数 y ax2 bx 4 的表达式；
（2）连接 AC, AB ，若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B,C 重合），过点 N 作 NM / / AC ，交 AB 于点 M ，当 AMN 面积最大时，求 N 点的坐标； （3）连接 OM ，在（2）的结论下，求 OM 与 AC 的数量关系． 解：（1）将点 B，点 C 的坐标分别代入 y ax2 bx 4 ，
24.在平面直角坐标系 xoy 中，规定：抛物线 y a x h2 k 的伴随直线为 y a x h k .例如：抛物线 y 2 x 12 3 的伴随直线为 y 2 x 1 3 ，即
y 2x 1.
（1）在上面规定下，抛物线 y x 12 4 的顶点为
.伴随直线
为
；抛物线 y x 12 4 与其伴随直线的交点坐标为
当 = 时，则 PM= BM，即﹣ t2+ t﹣3= P（2， ）；
当 = 时，则 BM= PM，即 5﹣t= （﹣ t2+ t﹣3），解得 t= 或 t=5（舍
去），此时 P（ ，﹣ ）；
综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为（2， ）或（ ，﹣ ）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、二次 函数的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1） 中注意待定系数法的应用，在（2）①中用 P 点坐标表示出△PCD 的面积是解题 的关键，在（2）②中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键．本 题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
∴
SV AMN
8n 10
SV ABN
1 (8 n)(n 2) 1 (n 3)2 5 ．
5
5
6分
∴ 当 n=3 时，即 N（3，0）时，△ AMN 的面积最大．
7
分
（3）当 N（3，0）时，N 为 BC 边中点.
∴ M 为 AB 边中点，∴ OM 1 AB.
8分
2
∵ AB OB2 OA2 4 16 2 5 ，
∵∠CQN=∠PMB=90°， ∴当△CNQ 与△PBM 相似时，有 = 或 = 两种情况， ∵CQ⊥PM，垂足为 Q，
∴Q（t，3），且 C（0，3），N（t， t+3），
∴CQ=t，NQ= t+3﹣3= t，
∴ =，
∵P（t， t2﹣ t+3），M（t，0），B（5，0），
∴BM=5﹣t，PM=0﹣（ t2﹣ t+3）=﹣ t2+ t﹣3，
y
A M
B
O
N
C
x
∵ MN∥ AC，
∴ AM NC 8 n ．
4分
AB BC 10
∵ OA=4，BC=10，
∴
SV ABC
1 BC OA 1 410 20 ．
2
2
5分
SV ABN
1 BN 2
OA
1（n+2） 4=（2 n+2） 2
又 Q SVAMN AM CN 8 n , SVABN AB CB 10