典例精析
、
（-1，2）
A （ 1.如图,在边长为1的小正方形网格纸中 1 4，0） △OAB的顶点O、A、B均在格点上,且O （-2，0） 是直角坐标系的原点,点A在x轴上. (1)以O为位似中心,将△ OAB放大,使得 （ 2，-4） B 放大后的△ OA1B1与△ OAB的相似比为 1 2,画出△ OA1B1.(所画△ OA1B1与△ 解题小结 OAB在原点两侧). (2)写出A1、B1的坐标. 位似中心在连接两个对应点的线段(或延长线)上. 任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似 比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k(在原点的同侧)或 -k(在原点的异侧).
相似三角形的判定
平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线) 相交,所构成的三角形与原三角形相似.
知识回顾
5.如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和 △ABC相似,则需添加一个条件:_______________ ∠ACP=∠B; 2=AP· 或∠ APC = ∠ ACB ; 或 AP : AC = AC : AB ( 即 A C AB) _____________________________________________.
A
解：作DE⊥AB于E, ∴△ADE∽△EGF.
E 1 6.4 C 1.5 F
？ E B
D
1.2 易错之处:物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
解得AE=8. G ∴AB=8+1=9 m.
AE 1 5 ∴ 6 4 1 2
小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5 m， 其影长为1.2 m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近 教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4 m，墙上影长为1 m，那么这棵大树多高? A
A
E
B
D
C
y 4 x x 4 A E 1 2 1 1 2 2 ∴ y ( x 4 x) [( x 2) 4] ( x 2) 1 4 4 4
所以当x =2时， y 有最大值， y的最大值为1. 解题小结
解：由（1）△ ADE∽△BEF， AD=4，BE=4-x，得
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
∴x=5.6
A
C
6
B
4
D
x
p P 14―x
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4
A
．
B
．
C
．
D
．
巩固练习
4.如图，在Rt△ABC内有边长分别为 a、b、c的三个正方形．则a、b、c满足 的关系式是（A ） A. b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c
巩固练习
5.如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的 影子恰好落在地面BC上和土坡的坡面CD上 ，测得 BC=10 m, CD=4 m，CD与地面成30°角，同时测 得1 m标杆的影长为2 m，那么树的高度是多少？
D
C
2.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC于点F． 求证: △ADE∽△BEF；
F
解题小结 证明：（1）∵四边形ABCD是正 方形， 证三角形相似的方法有多种,应根 ∴∠DAE=∠FBE=90°， 据已知条件合理选用. ∴∠ADE+∠DEA=90°. 在垂直的条件较多时，经常用到 又EF⊥DE， 同角或等角的余角相等。 ∴∠DEA+∠FEB=90°， ∴∠ADE=∠FEB， ∴△ADE∽△BEF .
F B
3.小明想利用影长测量树高.把长为2.4 m的标杆CD 直立在地面上，此时量出标杆的影长为1.6 m，树的影 长为2.8 m,求树高AB是多少？你能解决这个问题吗？ A
C
2.4
E 1.6 D
F 2.8 B
典例精析
解:太阳光是平行光线,因此
A
∠ CED=∠AFB,
又∠CDE=∠ABF=90°, ∴△CDE∽△ABF.
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
C
CD DE ∴ AB BF 24 1 6 即 AB 2 8
解得AB=4.2 , 因此树高4.2 m.
E
D F
B
解题小结
实际 问题
建立相似三 角形模型 利用对应边的 比相等求解
数学 问题
典例精析
小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5 m， 其影长为1.2 m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近 教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4 m，墙上影长为1 m，那么这棵大树多高?
？ D B 6.4 C H 1
E 1.5 F 1.2 G
易错之处:物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
巩固练习
1.图中的两个三角形是位似图形，它 们的位似中心是（ A ） A．点P B．点O C．点M D.点N
O
P M N
2．已知△ABC 与△DEF 相似比为3，且△ABC 的周长 为18，则△DEF 的周长为（ C ） A．2 B．3 C．6 D．54 3.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ B ）
知识回顾
4.如图，E是□ABCD的边BA延长线上 一点，连接EC，交AD于F．在不添加 辅助线的情况下，图中相似三角形有: △EAF∽△EBC ; △EAF∽△CDF ; ________________________________
E
A B F D C
△EBC∽△CDF _________________.
北师大版九年级数学上册
图形的相似
小结与复习
知识回顾
1. 下列各组图中的两个图形相似的是（ C ）
A
B
C
D
相似图形的定义
形状相同的图形叫做相似图形.
知识回顾
2.如图，四边形ABCD与EFGH相似，则∠α ＝ H 20 cm _____, EH＝_______. 85°∠β ＝_____, 80°
10 cm x
点 E
移 合 到 A 与 点
D B
C
C
知识回顾
6.下列每幅图中的两个图形不是位似图形的是( D )
E B O C F A D
A
C
B

位似图形的定义和性质
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互 相平行,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心. 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
A
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角形相似.
B P C
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三组对应成比例的两个三角形相似.
知识回顾
A D
相似三角形基本图形
E E A C E C 重 △ADE绕点A 旋转 B B E A C A ∠ACB=Rt∠ CD⊥AB B D D A D
C
B D
B
A
E B C
D F
3、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于点 D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A C
4
D
6 14
B
A C
4
D
6 x P 14―x
D β E
16 cm
A
8 cm 75°
120°
85°
B 相似多边形的性质
C
F
α
G
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等. 相似多边形对应边的比叫做相似比. （相似比与叙述的顺序有关）.
知识回顾
3.两个相似三角形的对应中线的比为1:2,则它们的周长 1:2 面积比为______. 1:4 比为_____, 相似三角形(多边形)的性质 （1）相似三角形(多边形)周长的比等于相似比. （2）相似三角形(多边形)面积的比等于相似比的平方. （3）相似三角形(多边形)的对应边上的高、对应中线、 对应角平分线的比等于相似比.