2
C
∵∠D=90° ∴∠1+ ∠3=90 ° ∴∠2+ ∠3=90° ∴ AE⊥EF
∴△ADE∽△ECF ∴∠1=∠2
如图，AE2＝AD· AB，且∠ABE＝∠BCE，
试说明△EBC∽△DEB
A
2＝AD· ∵ AE AB，得AE∶AD＝ 解： AB∶AE
D
E
∵∠A＝∠A
C
∴△AED∽△ABE
∴∠AED＝∠ABE∵∠ABE＝∠BCE
在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.
若S△AEF=6cm2,则S△CDF = S
2 18 =____cm △ADF
D F A E B C
54
cm2
如图（６）， △ABC中，DE⁄⁄FG⁄⁄BC，
AD＝DF＝FB，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ =_________
答案：１：３：５
Q
P A C
6、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于点 D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A C
4
D
6 14
B
A C
4
D
6 x P 14―x
D B
C
C
如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
8 5 或 △ABC相似,那么AF=________ 5 2
A E
.
F1 F2
C的两个图形不是位似图形的是( D )
E B O C F A D
A
皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼 房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时， 其他人测出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面 1.6m.请你帮他算出楼房的高度。
F
E D
A
B
C
典例精析
小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5 m， 其影长为1.2 m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近 教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4 m，墙上影长为1 m，那么这棵大树多高?
D β E
16 cm
A
8 cm 75°
120°
85°
B 相似多边形的性质
C
F
α
G
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等. 相似多边形对应边的比叫做相似比. （注意：相似比与叙述的顺序有关）.
知识回顾
3.两个相似三角形的对应中线的比为1:2,则它们的周长 1:2 面积比为______. 1:4 比为_____, 相似三角形(多边形)的性质 （1）相似三角形(多边形)周长的比等于相似比. （2）相似三角形(多边形)面积的比等于相似比的平方. （3）相似三角形(多边形)的对应边上的高、对应中线、 对应角平分线的比等于相似比.
相似三角形的传递性
与同一个三角形相似的两个三角形也是相似三 角形.
知识回顾
5.如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和 △ABC相似,则需添加一个条件:_______________ ∠ACP=∠B; 2=AP· 或∠ APC = ∠ ACB ; 或 AP : AC = AC : AB ( 即 A C AB) _____________________________________________.
？ D B 6.4 C H 1
E 1.5 F 1.2 G
易错之处:物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
巩固练习
如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的影 子恰好落在地面BC上和土坡的坡面CD上 ，测得 BC=10 m, CD=4 m，CD与地面成30°角，同时测 得1 m标杆的影长为2 m，那么树的高度是多少？
∴ ∠AED＝∠BCE ∴DE∥BC ∴∠DEB＝∠EBC ∵∠ABE＝∠BCE ∴ △EBC∽△DEB
B
知识回顾
A D
相似三角形基本图形
E E A C E C 重 △ADE绕点A 旋转 B B E A C A ∠ACB=Rt∠ CD⊥AB B D D A D
C
B D
B
点 E
移 合 到 A 与 点
∴△ADE∽△BEF .
如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= 求证: AE⊥EF
1 BC. 4
1
3
E
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90° ∵E是BC中点，FC=
DE 1 CF 1 ∴ AD 2 CE 2 ∴ DE CF AD CE
1 4
A
D
BC
B F
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
∴x=5.6
A
C
6
B
4
D
x
p P 14―x
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4
• 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在 坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩 形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形 OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1/4，那么 点B′的坐标是( )
A．(3,2) B．(－2，－3 ) C．(2,3)或(－2，－ 3) D．(3,2)或(－3，－2)
7、 相似三角形的应用：
（1）测物高： ①利用阴影测物高。
物高 物影长 杆高 杆影长
7、 相似三角形的应用：
（1）测物高： ②利用标杆测物高。
7、 相似三角形的应用：
（1）测物高： ③利用平面镜测物高。
7、 相似三角形的应用：
（1）测物宽： ①方法一：
4 相似三角形的应用：
（1）测物宽： ①方法二：
C
B
D
位似图形的定义和性质
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互 相平行,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心. 性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相 似比.（作图的依据）
典例精析
、
（-1，2）
A （ 1.如图,在边长为1的小正方形网格纸中 1 4，0） △OAB的顶点O、A、B均在格点上,且O （-2，0） 是直角坐标系的原点,点A在x轴上. (1)以O为位似中心,将△ OAB放大,使得 （ 2，-4） B 放大后的△ OA1B1与△ OAB的相似比为 1 2,画出△ OA1B1.(所画△ OA1B1与△ 解题小结 OAB在原点两侧). (2)写出A1、B1的坐标. 位似中心在连接两个对应点的线段(或延长线)上. 任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似 比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k(在原点的同侧)或 -k(在原点的异侧).
《图形的相似》 复习
临清市京华中学 赵明升
知识回顾
1. 下列各组图中的两个图形相似的是（ C ）
A
B
C
D
相似图形的定义
形状相同的图形叫做相似图形.
知识回顾
2.如图，四边形ABCD与EFGH相似，则∠α ＝ H 20 cm _____, EH＝_______. 85°∠β ＝_____, 80°
10 cm x
A
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角形相似.
B P C
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三组对应成比例的两个三角形相似.
如图所示，E是正方形ABCD的边AB上 的动点， EF⊥DE交BC于点F． 求证: △ADE∽△BEF；
D
C
F 证明：（1）∵四边形ABCD是正 方形， A E B ∴∠DAE=∠FBE=90°， 解题小结 ∴∠ADE+∠DEA=90°. 证三角形相似的方法有多种,应根 又EF⊥DE， 据已知条件合理选用. ∴∠DEA+∠FEB=90°， 在垂直的条件较多时，经常用到 同角或等角的余角相等。 ∴∠ADE=∠FEB，
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
7、如图, 已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，
且PB=3，BF⊥BP. 试问在射线BF上是否存在一点E，
使以点B、E、C为顶点的三角形与△ABP相似?若存在,
请求出BE的长;若不存在,请说明理由. A P B Ｅ Ｅ C F D
8、如图,点C,D在线段AB上, △PCD是等边三角形.
(1)当AC,CD,DB满足怎样关系时, △PCA∽△BDP.
(2)当△PCA∽ △BDP时,求∠APB的度数.
P
A
C
D
B
9、已知梯形ABCD中， AD∥BC，对角线AC、BD
交于点O，若△AOD的面积为4cm2, △BOC的面积
2 25 为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_________cm
A
E B C
D F
巩固练习
1.图中的两个三角形是位似图形，它 们的位似中心是（ A ） A．点P B．点O C．点M D.点N
O
P M N
2．已知△ABC 与△DEF 相似比为3，且△ABC 的周长 为18，则△DEF 的周长为（ C ） A．2 B．3 C．6 D．54 3.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ B ）
知识回顾
4.如图，E是□ABCD的边BA延长线上 一点，连接EC，交AD于F．在不添加 辅助线的情况下，图中相似三角形有: △EAF∽△EBC ; △EAF∽△CDF ; ________________________________