第九节 多元函数的泰勒公式
分布图示
★ 二元函数的泰勒公式
★ 例1
★ 关于极值充分条件的证明
★ 内容小结
★ 习题8—9
★ 返回
内容要点
一、二元函数的泰勒公式
我们知道用一个一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数. 对多元函数也有类似的结果，即可以用一个多元多项式按任意给定的精度要求来近似表达一个多元函数. 现以二元函数为例叙述如下：
定理1 设),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数, ),(00k y h x ++为此邻域内任一点, 则有
),(),(),(000000y x f y k x h y x f h y h x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=++),(!21002
y x f y k x h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+ ),(!100y x f y k x h n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++ ),()!1(1001k y h x f y k x h n n θθ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+++
).10(<<θ
这个公式称为二元函数),(y x f 在点),(00y x 的n 阶泰勒公式.
推论1 设函数),(y x f 在区域D 上具有连续的一阶偏导数，且在区域D 内，有,0),(≡y x f x 0),(≡y x f y ，则函数),(y x f 在区域D 内为一常数.
二、极值充分条件的证明
例题选讲
例1（E01）求函数)1ln(),(y x y x f ++=的三阶麦克劳林公式.
解 ,11),(y x y x f x ++=,11),(y
x y x f y ++= ),(y x f xx 2)1(1y x ++-
=),(y x f xy =),,(y x f yy =
333)
1(!2y x y x f p p ++=∂∂∂-),3,2,1,0(=p 4
44)1(!3y x y x f p p ++-=∂∂∂-),4,3,2,1,0(=p ∴)0,0(f y y x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂)0,0()0,0(y x yf xf +=,y x += )0,0(2
f y y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂)0,0()0,0(2)0,0(22yy xy xx f y xyf f x ++=,)(2y x +-= )0,0(3f y y x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂)0,0(3)0,0(23xxy xxx yf x f x +=)0,0()0,0(332yyy xyy f y f xy ++ ,)(23y x += 又,0)0,0(=f 故
,)(3
1)(21)1ln(332R y x y x y x y x ++++-+=++ 其中 3R ),(!414
y x f y y x x θθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=44)1()(41y x y x θθ+++⋅-=).10(<<θ。