§10.4 二元函数的泰勒公式
就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准 备.
一、高阶偏导数
二、中值定理和泰勒公式
三、极值问题
一、高阶偏导数
由于 z f ( x, y) 的偏导数 fx ( x, y), f y ( x, y) 一般仍 然是 x, y 的函数, 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 存在, 说明 f 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏
z f ( x, y), x (s,t), y (s,t). 若函数 f , , 都具有连续的二阶偏导数，则复合函 数 z f ((s,t), (s,t)) 对于 s, t 同样存在二阶连续
偏导数. 具体计算如下: z z x z y, s x s y s
z z x z y; t x t y t
f
x
(
x,
y)
( x2 y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0;
f
y
(
x,
y)
x( x4 4x2 y2 ( x2 y2 )2
y4)
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
进一步求 f 在点 (0,0) 关于 x 和 y 的两个不同顺序
的混合偏导数:
f x y (0,0)
2 f v u
u y
2 f v2
v y
x y2
2 f uv
x y3
2 f v2
1 y2
f v
.
二、中值定理和泰勒公式
二元函数的中值公式和泰勒公式, 与一元函数的拉 格朗日公式和泰勒公式相仿, 对于 n (n 2) 元函数 也有相同的公式，只是形式上更复杂一些． 先介绍凸区域 若区域 D 上任意两点的连线都含于 D, 则称 D 为凸区域 (图10.3- 6). 这就是说, 若 D 为 凸区域，则对任意两点 P1( x1, y1), P2( x2 , y2 ) D, 和
例3
设z
x f ( x, y ),
求
2z x2 ,
2z .
xy
解 这里 z 是以 x, y 为自变量的复合函数, 它也可以
改写成如下形式:
z f (u,v), u x, v x . y
由复合函数求导公式，有
z x
f u f u x v
v x
f u
1 y
f v
.
注意, 这里 f , f 仍是以 u, v 为中间变量, x, y 为 u v
于是有
F ( x, y) ( x0 x) ( x0) .
(4)
对 应用微分中值定理，1 (0, 1), 使得
( x0 x) ( x0 ) ( x0 1 x) x [ f x ( x0 1 x, y0 y) f x ( x0 1 x, y0 ) ] x. 又 fx ( x0 1 x, y) 作为 y 的可导函数, 再使用微分 中值定理，2 (0, 1), 使上式化为 ( x0 x) ( x0 ) fx y( x0 1 x, y0 2 y) x y .
由 (4) 则有
F ( x, y) fxy ( x0 1 x, y0 2 y) x y
( 0 1,2 1).
(5)
如果令
则有
( x) f ( x0 x, y) f ( x0, y),
F ( x, y) ( y0 y) ( y0 ).
用前面相同的方法, 又可得到
F ( x, y) f yx ( x0 3 x, y0 4 y) x y ( 0 3,4 1).
例1
求函数
z
e
x
2
y
的所有二阶偏导数和
3z y x2
.
解 由于
z ex2 y , z 2e x2 y ,
x
y
因此有
2z x2
(e x 2 y ) x
e x2y;
2 z (e x 2 y ) 2e x 2 y; xy y
2z (2e x 2 y ) 2e x 2 y; yx x
fx
(
x,
y)
lim
x0
f (x x, y) x
f (x, y) ,
因此有
f
x
y
(
x0
,
y0
)
lim
y0
f x ( x0 , y0
y) y
f x ( x0 , y0 )
lim
y0
1 y
lim
x0
f
( x0
x,
y0
y) x
f
( x0,
y0
y)
lim x0
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) x
自变量的复合函数．所以
2z x2
f
x
u
1 y
f v
2 f u 2 f v 1 2 f u 2 f v
u2
x
uv
x
y
vu
x
v2
x
2 f u2
2 y
2 f uv
1 y2
2 f v2
,
2z xy
y
f u
1 y
f v
2 f u2
u y
2 f uv
v y
1 y2
f v
1 y
一切 (0 1), 恒有
P( x1 ( x2 x1), y1 ( y2 y1) ) D.
D
•
P1 •
• P D
P2
凸
图 10.3 - 6
•
P2 P D
•
D P1•
非凸
定理 8 ( 中值定理 ) 设 f ( x, y) 在凸区域 D R2 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两
lim
y0
fx (0, y) y
f x (0,0)
y lim y0 y
1,
f yx (0,0)
lim
x 0
f y( x,0) x
f y (0,0)
x lim x0 x
1.
由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么
在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 先按定义把 f x y ( x0, y0 ) 与 f y x ( x0, y0 ) 表示成极限形 式. 由于
fx yz ( x, y, z), fxz y ( x, y, z), f yz x ( x, y, z),
f y xz ( x, y, z), fz x y ( x, y, z), fz y x ( x, y, z) 若在某一点都连续，则它们在这一点都相等． 今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外, 一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续． 复合函数的高阶偏导数 设
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ) . (2) 为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2)
这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2)
相等的一个充分条件．
定理 7 若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续，则
2z x y
t2
x2
t
2
xy t t
2z y2
y t
2
z x
2x t2
z y
2y t2
;
2z 2z x x 2z x y x y
s t
x2
s
t
x
y
s
t
t
s
2z y y z 2x z 2y y2 s t x s t y s t ;
2z 2z . t s s t
显然 z 与 z 仍是 s,t 的复合函数, 其中 z , z 是
s t
x y
x, y 的函数, x , x , y , y 是 s, t 的函数. 继续求 z s t s t
关于 s, t 的二阶偏导数:
2z s2
s
z x
x s
z x
s
x s
s
z y
y s
z y
即先对 x、后对 y 与先对 y、后对 x 的两个二阶偏导 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数
x2 y2
f
( x,
y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
它的一阶偏导数为
y( x4 4x2 y2 y4)
的三阶偏导数共有八种情形:
z 3z
x
x
2
x3
f x3 ( x, y),
z
y
x2
2z x2 y
f x2 y ( x, y),
fx yx ( x, y), f x y2 ( x, y), f y3 ( x, y),
f y2 x ( x, y), f yx y ( x, y), f yx2 ( x, y).
导数有如下四种形式:
2z z
fxx(x, y)
x2
x
x
,
2z z f x y ( x, y) x y y x ,
f y x ( x,
y)
2z yx
x
z y
,
2z z
fy y(x,
y)
y2
y
y
.
类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
(9), (10) 两式即得所要证明的 (8) 式． 注 若 D 为严格凸区域，即 P1( x1, y1), P2( x2 , y2 )