一、填空题
1．玻尔的量子化条件为。

2．德布罗意关系为。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。

4．波函数的统计解释：_____________________________________
__________________________________________________________
5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率
为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率
为。

6．波函数的标准条件为。

7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子
___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是。

10．厄密算符的本征函数具有。

11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。

12.______;_______;_________。

28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。

13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。

14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。

15．隧道效应是指__________________________________________。

16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。

17．为氢原子的波函数，的取值范围分别
为。

18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。

19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符
与态矢量的关系为__________。

20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。

21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。

21．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系
数c的取值为，的可能值为
，本征值为出现的几率为。

22．原子跃迁的选择定则为。

23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为。

24．为泡利算符，则，，。

25．为自旋算符，则，，。

26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________，
_______________________________。

27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是
______________。

27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________,
玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。

27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则在态下，
自旋算符对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为______________________。

27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则
的意义为_____________________；
_________________。

一、计算题
1．在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为
，。

求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵和对角化。

2．一维运动粒子的状态是
其中，求
（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。

（利用公式）
3．设在表象中，的矩阵表示为
其中，试用微扰论求能级二级修正。

（10分）
4．在自旋态中，求。

（10分）
5．各是厄密算符。

试证明，也是厄密算符的条件是对易。

6．在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。

7．求自旋角动量在方向的投影
的本征值和所属的本征函数。

8．转动惯量为，电偶极矩为的空间转子处在均匀电场
中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。

（10分）
（基态波函数，利用公式
）
9．证明下列关系式：
1．， 2.
3. ,
4.
(其中为角动量算符，，为泡利算符，为动量算符)
10．设时，粒子的状态为，求此时粒子的平均动量和平均动能。

11．为厄密算符，（为单位算符），。

（1）求算符
的本征值；（2）在A表象下求算符的矩阵表示。

12．已知体系的哈密顿量，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。

（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。

13．一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，
， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。

14．证明下列算符的对易关系。

1．；
2. ()
3.设算符与它们的对易式对易，即：，
证明：
15．设有两个电子，自旋态分别
，，证明两个电子处于自旋单态（）及三重态（）
的几率分别为：（20分）。

16．求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数（20分）。

17．由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 。

试证明（1）
是
厄密算符；（2）有
；（3）
的本征值为0和1（20分）。

18． 设在 表象中， 的矩阵表示为 ，其中 ，试用微扰
论求能级二级修正（14分）。

19．证明下列算符的对易关系（24分）：
1．
2.
(
)
3. 设算符 与它们的对易式 对易，即： ，证明：
20．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。

玻色子只有
两个可能的单粒子态。

问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
21．求证在 的共同本征态下，角动量沿与z 轴成 角的方向 的分量
的平
均值为。

22．证明如算符
有共同的本征函数完备集，则
对易。

23．求 及
的本征值和所属的本征函数。

1．电子在均匀电场中运动，哈密顿量为，试判断各量中哪些是守恒量，为什么？
2．经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？
3．量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？
4．什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？
5．表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？
6．乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？
7．什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？
8．什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？
9．什么是斯塔克效应？
10．不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？
11．量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？
12．什么是定态？定态有什么性质？
13．量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？
14．简述力学量与力学量算符的关系？
15．轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？
16．简述量子力学的五个基本假设。

17．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？
18．什么是光电效应？光电效应有什么规律？
19．什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。

20．简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。

21．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。

22．能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？
23．原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的。