第零章 数学准备一 泰勒展开式1 二项式得展开()()()()()m 23m m-1m m-1m-2f x 1x 1mx+x x 23=+=+++K ！！2 一般函数得展开()()()()()()()()230000000f x f x f xf x f x x-x x-x x-x 123!''''''=++++K ！！特别:00x =时,()()()()()23f 0f 0f 0f x f 0123!x x x ''''''=++++K！！3 二元函数得展开(x=y=0处)()()00f f f x y f 0x+y x y ⎛⎫∂∂=++ ⎪∂∂⎝⎭，22222000221f f f x 2xy+y 2x x y y ⎛⎫∂∂∂++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭K ！评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处得非线性问题向线性问题得转化。

在理论力问题得简单处理中，一般只需近似到三阶以内。

二 常微分方程1 一阶非齐次常微分方程： ()()x x y+P y=Q通解：()()()P x dx P x dx y e c Q x e dx -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 注：()()(),P x dxP x dx Q x e dx ⎰±⎰⎰积分时不带任意常数，()x Q 可为常数。

2 一个特殊二阶微分方程2y A y B =-+&& 通解：()02By=Kcos Ax+Aθ+注：0,K θ为由初始条件决定得常量 3 二阶非齐次常微分方程()x y ay by f ++=&&&通解：*y y y =+；y 为对应齐次方程得特解，*y 为非齐次方程得一个特解。

非齐次方程得一个特解 （1） 对应齐次方程0y ay by ++=&&&设x y e λ=得特征方程2a b 0λλ++=。

解出特解为1λ，2λ。

*若12R λλ≠∈则1x 1y e λ=，2x 2y e λ=；12x x 12y c e c e λλ=+*若12R λλ=∈则1x 1y e λ=，1x 2y xe λ=； 1x 12y e (c xc )λ=+*若12i λαβ=±则%x 1y e cos x αβ=，%x 2y esin x αβ=；x 12y e (c cos x c sin x)αββ=+（2） 若()2000x f a x b x c =++为二次多项式*b 0≠时，可设*2y Ax Bx C =++ *b 0≠时，可设*32y Ax Bx Cx D =+++注：以上1c ,2c ,A,B,C,D 均为常数，由初始条件决定。

三 矢量1 矢量得标积x x y y z z A B=B A=A B cos =A B +A B +A B θ••r rr r注：常用于一矢量在一方向上得投影 2 矢量得矢积n xy z xyz ij k A B=-(B A)=A B sin e =A A A B B B θ⎛⎫ ⎪⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭r r r r r r r r x y z y z x x z x y y x (A B A B )i (A B A B )j (A B A B )k =-+-+-r r r四 矩阵此处仅讨论用矩阵判断方程组解得分布情形。

111122133211222233311322333a x a x a x 0a x a x a x 0a x a x a x 0++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 令111213212223313233a a a D a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭*D=0时，方程组有非零解 *D ≠0时，方程只有零解第一章 牛顿力学得基本定律万丈高楼从地起。

整个力学大厦得地基将在此筑起，三百年得人类最高科学智慧结晶将飘来她得古朴与幽香。

此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更就是风光占尽。

【要点分析与总结】 1 质点运动得描述（1） 直线坐标系r xi yj zkr xiyj zk a r xi yj zkυυ=++==++===++r r r rr r r r r &&&&&r r r r r r &&&&&&&&& （2） 平面极坐标系r r 2r r re re r e a (r r )e (r 2r )e θθυθθθθ==+=-++r r r r r &&r r r &&&&&&& （3） 自然坐标系t 2t ne v a e e υυυρ==+rrrr r & （4） 柱坐标系2t nz v a e e e e ze ρθυρυρρθ=+=++r r r &rrr r&&&〈析〉 上述矢量顺序分别为：r k t n b z i,j,k;e ,e ,e ;e ,e ,e ;e ,e ,e .θρθr r r r r r r r r r r r矢量微分：r k r k r k k k de e e e dt de e e e dt de e e 0dtθθθθθθθθ=⨯==⨯=-=⨯=rr r r &&rr r r &&rr r &（其它各矢量微分与此方法相同） 微分时一定要注意矢量顺序2 牛顿定律惯性定律得矢量表述22d r ma m F dt==rrr（1） 直角坐标系中x y z F mxF myF mz⎧=⎪=⎨⎪=⎩&&&&&& （2） 极挫标系中2r kF m(r r )F m(r 2r )F 0θθθθ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩&&&&&&& （3） 自然坐标系中2n b F m F m F 0τυυρ=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩&3 质点运动得基本定理 几个量得定义：动量 P m υ=r r角动量 L r m r P υ=⨯=⨯r rr r r冲量 21I P P =-r r r力矩 M r F =⨯r rr冲量矩 21t 21t H I I Mdt =-=⎰r r r r动能 21T m 2υ=（1） 动量定理 dPF dt=r rˆe l 方向上动量守恒：dPˆˆe F e0dt ==l l rr g g （2） 动量矩定理 dLM dt=r r（3） 动能定理 d dTF m dt dtυυυ==r r r r g g4机戒能守恒定理 T+V=E〈析〉势函数V: V V VdV dx dy dz F dr x y z ∂∂∂=++=-∂∂∂r r gV V V F (i j k)x y z∂∂∂=-++∂∂∂r r rr 稳定平衡下得势函数：()0x x x dV 0dx==;()02x x x dV 0dx=>此时势能处极小处m V且能量满足M mV E 00E V E <<⎧⎪<∞⎨⎪<∞⎩质点再平衡点附近振动质点逃逸-质点逃逸+【解题演示】1 细杆OL 绕固定点O 以匀角速率ω转动，并推动小环C 在固定得钢丝AB 上滑动，O 点与钢丝间得垂直距离为d ，如图所示。

求小环得速度υr 与加速度a r。

解：依几何关系知：x d tan θ=又因为：222d d x xii i cos dωυωθ+===r r rr& 故：22222(d x )x a 2xx i i d dωυω+===r r r && 2 椭圆规尺AB 得两端点分别沿相互垂直得直线O χ与Oy 滑动，已知B 端以匀速c 运动，如图所示。

求椭圆规尺上M 点得轨道方程、速度及加速度得大小υ与α。

解：依题知：B y (b d)cos θ=+且：B y C (b d)sin θθ=-=-+&&得：C*(b d)sin θθ=+&K K又因M 点位置：M M x bsin ,y d cos θθ==故有：M M M x i |y j b cos i d sin j υθθθθ=+=-r r r rr&&&&代入（*）式得：M bccot dc i j b d b dθυ=-++r rr即：υ= 2M M222bc bc a i i (b d)sin (b d)sin θυθθ==-=++&r r r r &3 一半径为r 得圆盘以匀角速率ω沿一直线滚动，如图所示。

求圆盘边上任意一点M 得速度υr与加速度a r（以O 、M 点得连线与铅直线间得夹角θ表示）；并证明加速度矢量总就是沿圆盘半径指向圆心。

解：设O 点坐标为（0Rt x ,R ω+）。

则M 点坐标为（0Rt x R sin ,R R cos ωθθ+++）故：M M M x i y j (R R cos )i R υωωθ=+=+-r r rr&&222M M a R sin i R cos j R (sin i cos j)υωθωθωθθ==--=-+r r r r r r &4 一半径为r 得圆盘以匀角深度ω在一半经为R 得固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M 点得深度υ与加速度α（用参量θ，Ψ表示）。

解：依题知：r rR rR rθωϕ=-=---&&且O 点处：k r e cos()e sin()e θθϕθϕ=---rrr则：M O O OMR rr r r r (R r)e re [(R r)cos()r]e (R r)sin()e θθϕθϕ'=+=-+=--+---r r r r rr rM M r rr r r ()sin()e [(R r)cos()r]e (R r)()cos()e (R r)sin()e r sin()e r [1cos()]e θθθυϕθθϕθϕθϕθθϕθθϕωθϕωθϕ==--+--+----+--=--+--r r&r r r r r &&&&&&&r r(){}r rr r 2r a r ()cos()e r sin()e r ()sin()e r [1cos()]e r cos()e r sin()e r e r r R r cos()e r sin()e R r θθθθυωϕθθϕωθθϕωϕθθϕωθθϕωϕθϕωϕθϕωθωθϕθϕ==----------=----=---+-⎡⎤⎣⎦-r r &r r r r &&&&&&r r r &&&r r5 已知某质点得运动规律为：y=bt,at θ=,a 与b 都就是非零常数。