9-6 A组 专项基础训练 (时间：45分钟) 1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A.5 B．2 C.3 D.2 【解析】 结合图形，用a表示出点M的坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，进而求出离心率． 不妨取点M在第一象限，如图所示，

设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)， 则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°， ∴M点的坐标为()2a，3a. ∵M点在双曲线上， ∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b， ∴c＝2a，e＝ca＝2.故选D. 【答案】 D 2．(2015·天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x221－y228＝1 B.x228－y221＝1 C.x23－y24＝1 D.x24－y23＝1 【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解． 由双曲线的渐近线y＝bax过点(2，3)， 可得3＝ba×2.① 由双曲线的焦点(－a2＋b2，0)在抛物线y2＝47x的准线x＝－7上， 可得a2＋b2＝7.② 由①②解得a＝2，b＝3， 所以双曲线的方程为x24－y23＝1. 【答案】 D 3．(2015·湖南)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53 【解析】 由渐近线过点(3，－4)可得ba的值，利用a，b，c之间的关系a2＋b2＝c2可消去b得a，c之间的关系，求出离心率e. 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知ba＝43，∴b2a2＝169. 又b2＝c2－a2，∴c2－a2a2＝169， 即e2－1＝169，∴e2＝259，∴e＝53. 【答案】 D 4．(2014·江西)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( ) A.x24－y212＝1 B.x27－y29＝1 C.x28－y28＝1 D.x212－y24＝1 【解析】 由x＝a，y＝－bax，得x＝a，y＝－b， ∴A(a，－b)． 由题意知右焦点到原点的距离为c＝4， ∴（a－4）2＋（－b）2＝4，即(a－4)2＋b2＝16. 而a2＋b2＝16，∴a＝2，b＝23. ∴双曲线C的方程为x24－y212＝1. 【答案】 A 5．(2015·山东)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________． 【解析】 先表示出直线的方程和点P的坐标，再将点P的坐标代入直线的方程可得关于a，b，c的方程，化简可以求出离心率． 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，

又直线l过右焦点F(c，0)， 则直线l的方程为y＝ba(x－c)． 因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得4a2a2－y2b2＝1， 化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)， 故点P的坐标为(2a，－3b)， 代入直线方程得－3b＝ba(2a－c)， 化简可得离心率e＝ca＝2＋3. 【答案】 2＋3 6．(2014·北京)设双曲线C经过点(2，2)，且与y24－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为____________；渐近线方程为____________． 【解析】 设双曲线C的方程为y24－x2＝λ(λ≠0)， 将点(2，2)代入上式，得λ＝－3， ∴C的方程为x23－y212＝1，其渐近线方程为y＝±2x. 【答案】 x23－y212＝1 y＝±2x 7．(2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________． 【解析】 双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax.

由y＝bax，x－3y＋m＝0得Aam3b－a，bm3b－a， 由y＝－bax，x－3y＋m＝0得B－ama＋3b，bma＋3b， 所以AB的中点C的坐标为a2m9b2－a2，3b2m9b2－a2. 设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)， 因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l， 所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2. 在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，

所以e＝ca＝52. 【答案】 52 8．(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________． 【解析】 根据双曲线的定义等价转化|PF|，分析何时△APF的周长最小，然后用间接法计算S△APF. 由双曲线方程x2－y28＝1可知， a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3，0)． 当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 |PF|－|PF1|＝2， 所以|PF|＝|PF1|＋2， 从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.

因为|AF|＝32＋（66）2＝15为定值， 所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．

由题意可知直线AF1的方程为y＝26x＋66， 由y＝26x＋66，x2－y28＝1， 得y2＋66y－96＝0， 解得y＝26或y＝－86(舍去)， 所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F

＝12×6×66－12×6×26＝126. 【答案】 126 9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积． 【解析】 (1)∵离心率e＝2，∴双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6. (2)证明：∵点M(3，m)在双曲线上， ∴32－m2＝6，∴m2＝3， 又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－23，0)，F2(23，0)， ∴MF1→·MF2→＝(－23－3，－m)·(23－3，－m) ＝(－3)2－(23)2＋m2＝9－12＋3＝0， ∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．

(3)S△F1MF2＝12×43×|m|＝6. 10．已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点． (1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→>2(其中O为原点)，求k的取值范围． 【解析】 (1)设双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)， 则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1. 故C2的方程为x23－y2＝1. (2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1， 得(1－3k2)x2－62kx－9＝0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

1－3k2≠0，Δ＝（－62k）2＋36（1－3k2）＝36（1－k2）>0，

∴k2≠13且k2<1.① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝62k1－3k2，x1x2＝－91－3k2. ∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝3k2＋73k2－1.

又∵OA→·OB→>2，得x1x2＋y1y2>2， ∴3k2＋73k2－1>2，即－3k2＋93k2－1>0，解得13由①②得13故k的取值范围为－1，－33∪33，1. B组 专项能力提升 (时间：25分钟) 11．(2015·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( ) A．对任意的a，b，e1>e2 B．当a>b时，e1>e2；当aC．对任意的a，b，e1D．当a>b时，e1e2 【解析】 分别表示出e1和e2，利用作差法比较大小．

由题意e1＝ a2＋b2a2＝ 1＋ba2； 双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，

离心率e2＝ （a＋m）2＋（b＋m）2（a＋m）2＝ 1＋b＋ma＋m2. 因为b＋ma＋m－ba＝m（a－b）a（a＋m），且a>0，b>0，m>0，a≠b， 所以当a>b时，m（a－b）a（a＋m）>0，即b＋ma＋m>ba. 又b＋ma＋m>0，ba>0，

所以由不等式的性质依次可得b＋ma＋m2>ba2， 1＋b＋ma＋m2>1＋ba2， 所以 1＋b＋ma＋m2> 1＋ba2， 即e2>e1；同理，当a可推得e2综上，当a>b时，e1