第三章 空间向量与立体几何1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a//b 存在实数λ，使a＝λb 。

4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。

7. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz-中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组x y z叫作向量A在空间直角坐标系(,,)x y z，使zk=，有序实数组(,,)+yiOA+xiA x y z，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

O xyz-中的坐标，记作(,,)(2) 右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向；（3）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示。

（4）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或λ===332211b a b a b a 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（5）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则222123||a a a a a a =⋅=++，222123||b b b b b b =⋅=++ （6）夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a ba b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++。

（7）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-， 或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-（8）空间线段),,(),,,(22221111z y x P z y x P 的中点),,(z y x M 的坐标：⎪⎭⎫⎝⎛+++2,2,2212121z z y y x x（9）球面方程：2222R z y x =++8. 空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。

（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。

（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。

（4）空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>。

②0a b a b ⊥⇔⋅=。

③2||a a a =⋅=2)(a ，2)(a a = （5）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。

②a b b a ⋅=⋅（交换律）。

③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。

9、空间向量在立体几何证明中的应用：),,(),,,(321321b b b CD a a a AB ==（1）证明//AB CD ，即证明//AB CD ，也就是证明332211,,b a b a b a λλλ===或λ===332211b a b a b a （2）证明AB CD ⊥，即证明0AB CD ⋅=，也就是证明0332211=++b a b a b a （3）证明//AB α（平面）（或在面内），即证明AB 垂直于平面的法向量或证明AB 与平面内的基底共面；（4）证明AB α⊥，即证明AB 平行于平面的法向量或证明AB 垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；（5）证明两平面//αβ（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；（6）证明两平面αβ⊥，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一个面内。

10. 运用向量的坐标运算解题的步骤： （1）建坐标系，求相关点的坐标 （2）求相关向量的坐标 （3）运用向量运算解题11. 用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题： （1） 两条直线的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ， 两直线l ,m 所成的角为θ(02πθ≤≤),cos a b a bθ⋅==b a ,cos（2） 直线与平面的夹角：设直线l 的方向向量分别为a ，平面α的法向量分别为u， 直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅==u a ,cos ；（3） 二面角： πθ≤≤0 ① 方向向量法：② 法向量法：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角12. 利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题. （1）点与直线的距离：),cos (sin ><=a AP AP d 先求θ（2）点到平面的距离：d =||||PA n n ⋅.如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,分析:过P 作P O ⊥α于O,连结OA. 则d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠ ∵PO ⊥α,,n α⊥∴PO ∥n . ∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉|. ∴d =|PA ||cos ,PA n 〈〉|=||||PAn n ⋅.（3）异面直线间的距离： nAB n CD d ⋅==已知a,b 是异面直线,CD 为a,b 的公垂线,的方向向量，是直线CD n A ，B 分别在直线a,b 上nAB n CD d ⋅==（4）其它距离问题：① 平行线的距离(转化为点到直线的距离）② 直线与平面的距离（转化为点到平面的距离） ③ 平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）13.补充：（1） 三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ， AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. （2）三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立). （3）点Q 到直线l 距离221(||||)()||h a b a b a =-⋅(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).（4）异面直线上两点距离公式2222cos d h m n mn θ=++.222'2cos ,d h m n mn EA AF =++-.2222cos d h m n mn ϕ=++-（'E AAF ϕ=--）. (两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). （5）三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅ 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a=+++⋅+⋅+⋅ （6）长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. （7）面积射影定理'cos S S θ=. (平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).（8）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则 ①1S c l=斜棱柱侧.②1V S l =斜棱柱.（9）欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).① E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：nF E 21=② 若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：.mV E 21=(10) 球的组合体① 球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. ② 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. ③ 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为a 126,外接球的半径为a 46.。