向量知识点归纳与常见题型总结则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形⑸0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数 0仅仅是一个无方向的实数⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段 .（7）相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是一a 。

）2.与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量 ① 当两个向量a 和b 不共线时，a② 当两个向量a 和b 共线且同向时， ③当向量a 和b 反向时，若|a | > | b | ,a b 与a 方向相同，且| a —h—*—I-—F-—I-—I-—I-—¥—I-若 | a | < | b | 时，a b 与 b 方向相同，且 | a + b |=| b |-| a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

AB BC AC ; AB AC CB例2: P 是三角形ABC 内任一点，若CB PA PB, R ，则P —定在（）,sin)(0 wABw 2 n ） 表示） .特力别： --- 表示上 Luuuuur|AB|禺-uu^)( 0）所在直线过 ABC 的内心（是|AB | I AC IAB 同向的单位向量。

（可用（cos BAC 的角平分线所在例如：向量 一、向量知识点归纳1.与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量） 可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小而| a | > | b |才有意义.⑵有些向量与起点有关， 有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性 故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量） .当遇到与起点有关向量时, ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量 ⑷单位向量是模为，而向量既有大小又有方向；数量 a > b ”错了,.记号“ （大小和方向）， 可平移向量2 21的向量，其坐标表示为（x, y ）,其中x 、y 满足x y = 1直线）；例1、0是平面上一个定点，A B C 不共线, uuu uuu P 满足OP OAuuu (AB (uuu |AB|Luur AC 、-tutu-) I AC[0,).AB（变式）已知非零向量A B 与AC 满足（—— +|AB| |AC|AC)• §G=0 且 AB|AB|AC |AC|D.等边三角形（06陕西）.（三角形法则和平行四边形法则）■ — ■ —b 的方向与a 、b 都不相同，且|a—* —P- —P- 1 —■ b | v| a | + | b | ；bi iai ibi ；b |=| a |-| b | ；A ABC 内部 B___ _____ ______ 2 例 3、若 AB - BC AB 例4、已知向量a （cos 分析：通过向量的坐标运算, 、AC 边所在的直线上 C 、AB 边上 D 、BC 边上0，则△ ABC 是: △ B.锐角△ C.钝角△ D.等腰Rt △ ,sin ）,b （J 3, 1），求 |2a b|的最大值。

转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。

解：原式=| （2cos J 3,2S in1) | J(2cos ^/3)2 (2sin 1)22k —(k 呼8sin（-）。

当且仅当 评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式Z ）时，|2a b|有最大值4.简洁明快。

原式 |2a| |b|=2|a| |b| 量同向）。

⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示） 如，A B BC C A 0,（在△ ABC 中） ⑷判定两向量共线的注意事项： 共线向量定理 存在实数入使a=入b . 如果两个非零向量 a , b ,使a =^ b （入€ R ）,那么a // b ； 反之，如a // b ，且b 丰0,那么a =入b . 这里在“反之”中，没有指出a 是非零向量，其原因为a =0时，与入 ⑸数量积的8个重要性质 ||a| |b|| |a b| |a| |b|” 就显得 2 4，但要注意等号成立的条件（向 的和为零向量 . AB BC CD DA 对空间任意两个向量 0.( □ ABCD 中) a 、b(b 丰 0 ) ,a // b b的方向规定为平行. ① 两向量的夹角为 0W wn .由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向 量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数 ② 设a 、 b 都是非零向量，e 是单位向量,是a 与b 的夹角，则 a e | a| cos .( |e| 1) —Hb 0 (••• =90°, cos 0) ④ 在实数运算中 故a 0或b ⑤ 当a 与b 同向时a ab =0 a =0或b=0.而在向量运算中a b = 0 a =0或b =0是错误的, 0是a b =0的充分而不必要条件. 当a 与b 反向时, |a b| |a| |b|.当非充分条件；当 分条件； b = | a | | b |( =0,cos =1); —I- —h—b-—ba b =- |a | | b |( =n ,cos f f r 为锐角时，a ? b > 0,且a 、 J L r r a ? b < 0,且a 、b 不反向，a b 0是 为钝角的必要非充 =-1） ,即卩a // b 的另一个充要条件是 b 不同向，a b 0是为锐角的必要r r 为钝角时, 例5.如已知 b （3 ,2），如果a 与b 的夹角为锐角，贝U 的取值范围是 1 0 且 一）； 3 （,2 ）, 4或 3 例6、已知i , j 为相互垂直的单位向量， a i 2j , b i j 。

且a 与b 的夹角为锐 角，求实数 的取值范围。

(答:分析：由数量积的定义易得“ a,b—■ —F-a b 解：由a 与b 的夹角为锐角，得 a b0 ”但要注意问题的等价性。

10.有而当a tb(t 0),即两向量同向共线时, 2.此时其夹角不为锐角。

评析：特别提醒的是： 不等价。

极易疏忽特例 a,b 是锐角与a“共线”。

f f — 2 ---- 2 —* /r —/-»2特殊情况有 a a a =| a |。

或 |a|=Vaa =V a =如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( |a| = J (X 1X 2)2 (y 1 y 2)2⑥ |ab| |a||b|°(因 cos ⑦ 数量积不适合乘法结合律. 如(a b) c a (b c).(因为(a ⑧ 数量积的消去律不成立. b ) 0不等价; c 与c 共线，而 同样 a,b 是钝角与a b 0X 1, y 1),( X 2, y 2),则 a (b c)与a 共线) 若a 、b 、c 是非零向量且a c 1即1是无意义的. c c 并不能得到a b 这是因为向量不能作除数, ⑹向量b 在a 方向上的投影I b I cos (7) ei 和e 2是平面一组基底，则该平面任一向量 a uuu r , 2OB 则1 2 1是三点P 、A 、B 共线的充要条件. 注意：起点相同，系数和是 1。

基底一定不共线 1 uuu uur uLur 例7、已知等差数列｛ a n ｝的前n 项和为S n ,若 一B0= a 1 0A +a 200 OC ，且A B 、C2 ，亠" —- uLur 特别：.OP = 1OA 三点共线(该直线不过点 0,贝y S 200=() A. 50 B. 51 例 &平面直角坐标系中， 2 e 2 ( 1, 2 唯—■)O 为坐标原点，已知两点 A(3,1), B( 1,3),若点C 满足 OC 1 OA 2 OB ,其中 1, 2 R 且 1 2 例9、已知点A,,B,C 的坐标分别是(3,1),(5,2), (2t ,2 1,则点C 的轨迹是 t ).若存在实数 (直线AB ) 使 OC OA (1 )OB ,则 t 的值是:A. 0 B. 1 定 例10下列条件中，能确定三点 A, B, P 不共线的是: C. 0 或1 D. 不确a (h,k)平移得函数方程为：y k f (x h)A . MP sin 220 M AC. MP sin 2 20 M A cos 220 MBcos 270 M B B. D .M P M P sec 220 MACSC 2 31 MA tan 2 20 M B cot 231 M B 分析：本题应知：“ 4 ” A,B, P 共线， 等价于存在 JR,使 MP M A M B'且 1 ” UULT 4 UUU UUU UULT(8) ①在 ABC 中， PG 1(PA PB PC) G 为 ABC 的 重心,特别地 UUT UUU UULT r 1PA PB PC 0 p 为 ABC 的重心； AB - BC AD 则AD 过三角形的重心； 例11、设平面向量 2a i , a i 、 a 3 2 0。

如果向量b、b 2、b 3,满足ba 2、a 3 的禾n a-, a 2 且a i 顺时针旋转30o后与b i 同向，其中 A. b 1 b 2 b 3 C. b 1 UUU ②PA 1,2,3，则(D ) ( 06河南高考)bl b 2 b 3 0.bl b 2 b s ABC 的垂心； 0 ULUPC uur 礎)( |A C| D UUU PA P 为 b 2 b 3 UUU UUU PB PB UUU (UUU|AB| ,. UULT UUU UULT UUU LUU UUU T ④ |AB|PC |BC|PA |CA|PB 0 1⑤ S 』AO 尸-|x A y B X B y A ； ③向量 ULU PC 0)所在直线过 ABC 的内心(BAC 的角分线所在直线)； ABC 的内心; UUU UUUT 例12、若O 是VABC 所在平面内一点， 且满足OB OC 的形状为 (答：直角三角形) 例13、若D 为 ABC 的边 UUUuur LUU UUU r i Ap i PA BP CP 0,设 |PD|例14、若点O 是^ ABC 的外心, (9)、 P BC 的 分P 1P 2的比为，则PP = ，则 ULU OA 0P =OP i 1 坐；若入=1则O P UUU UHJT UUU OB OC 2OA ，贝U VABC ABC 所在平面内有的值为—(答: 2);ULU UUU r cOB CO 0,则内角 C 为 __________ (答: 120o); ,> 0内分；V 0且 M -1外分.PE1=2( OP 1 + O P 2)；设 P(x,y),P 1(x 1,y 1),X P 2(X 2,y 2)则y X 1 X 21 ;y 1 y ，1 . 中占 I 八、、 X 1 X 22，重心 y 1 y 22 . X 1 X 2 X3 x -------------3y y 1 y 2 y 说明：特别注意各点的顺序, 子分母的位置。