、基本知识点
n On 1n 1. 1 rnrr nn,
1、二项式疋理：(a b) Ca 6a b C.a b
C n b (n N )
2、几个基本概念
(1)二项展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式
(2)项数：二项展开式中共有n 1项
(3)二项式系数：C n (r 0,1,2, ,n)叫做二项展开式中第r 1项的二项式系数
(4)通项：展开式的第r 1项，即T r 1 C；a n r b r (r 0,1, ,n)
3、展开式的特点
(1) 系数都是组合数，依次为c,,c：,c n,…,c n
(2) 指数的特点①a的指数由厂0(降幕)。

②b的指数由0 * n (升幕)。

③a和b的指数和为n。

(3) 展开式是一个恒等式，a, b可取任意的复数，n为任意的自然数。

4、二项式系数的性质：
(1)对称性：
在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等•即C m c：m (2)增减性与最值
二项式系数先增后减且在中间取得最大值
n
当n是偶数时，中间一项取得最大值c n2
n 1 n 1
当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值=CF
二项式定理
c0 c1 c2
(3)二项式系数的和：Cn Cn Cn
Cn C：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和2n
即C0+Cn+L W + L =2n-1
二项式定理的常见题型
一、求二项展开式
1•“ (a b)n”型的展开式
例1•求(3 . x1 )4的展开式；a J x
2. “(a b)n”型的展开式
—1
例2•求)4的展开式；
J V
3•二项式展开式的“逆用”
例3•计算 1 3C：9C2 27 C3 .... ( 1)勺匕：；
二、通项公式的应用
1.确定二项式中的有关元素
例4.已知(£.. X)9的展开式中x3的系数为9，常数a的值为_______________ x \ 2 4
2.确定二项展开式的常数项
例5. (-x 31 )10展开式中的常数项是_________________
3' X
3 •求单一二项式指定幕的系数
例6. (x 2丄)9展开式中x 9的系数是
2x
三、求几个二项式的和(积)的展开式中的条件项的系数 例7. (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展开式中，x 2的系数等于 例8. (x 2 1)(x 2)7的展开式中，x 3项的系数是 ______
四、利用二项式定理的性质解题
1. 求中间项
2. 求有理项
例10.求CX 3：)10的展开式中有理项共有 ---------------- 项; 3. 求系数最大或最小项
(1)特殊的系数最大或最小问题
例11. 在二项式(x 1)11的展开式中，系数最小的项的系数是
例9.求(、x
31 )10的展开式的中间项; v'x
(2) 一般的系数最大或最小问题
(3) 系数绝对值最大的项
例13.在(x y)7的展开式中，系数绝对值最大项是
五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 a 6
六、利用二项式定理求近似值 例16.求0.9986的近似值，使误差小于0.001 ;
七、利用二项式定理证明整除问题
例17 .求证：5151 1能被7整除
例12.求Cx 2打展开式中系数最大的项;
例14 .若(2x 3) a 。

2 3 4 a 〔x a ?x a s X a q X ,
则(a 。

a 2
a 4)2 (a i a 3)2的值为 例15 .设(2x
1)6 6 a e x 5 a §x a i x a 。

,
a 2。