二项式定理高考知识点总结1．求103)1(xx -展开式中的常数项2．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49,求常数a 的值３.求84)21(xx +展开式中系数最大的项;4.若n xx )21(-+的展开式的常数项为－20．求n .５求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数?6.已知n xx )21(4⋅+的展开式前三项中的x 的系数成等差数列.(1)求展开式中所有的x 的有理项； （2)求展开式中系数最大的项.7. 已知二项式n xx )2(2-,(n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：１，(1）求展开式中各项的系数和（2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项8.求6998.0的近似值,使误差小于001.0；9．求证：15151-能被7整除。

１0．求证:３2n ＋2-８n-9能被64整除.11 求9192除以100的余数.1２ 求证：C n 0＋21C n 1+31C n 2+…+11+n C n n ＝11+n (２n+1－1）.1３ 计算c C C C nn nn n n n 3)1( (279313)21-++-+-； 14.求值：１5、已知数列{a n }（n 为正整数)是首项为a 1,公比为q 的等比数列。

（1)求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-(2）由(1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； （３)设q ≠1,S n 是等比数列｛ａn }的前ｎ项和,求:.)1(134231201nn n n n n n n C S C S C S C S C S +-++-+-16．规定!)1()1(m m x x x C mx +--=,其中x ∈R ，m 是正整数,且10=x C ，这是组合数mn C （n 、m 是正整数,且m ≤n )的一种推广. (1) 求315-C 的值；(2） 设x >０，当x 为何值时，213)(x xC C 取得最小值？(3) 组合数的两个性质;①m n n m n C C -=． ②mn m n m n C C C 11+-=+．ﻩ是否都能推广到mx C (ｘ∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由．１解：r r rr rr r xC xx C T 65510310101)1()1()(--+⋅-=-=令0655=-r ，即6=r 。

所以常数项是210)1(6106=-C2 解：9239299912)1()2()(----+⋅⋅⋅-=-=r r r r r r r r r x a C x x a C T令3923=-r ，即8=r 依题意,得492)1(894889=⋅⋅---a C ,解得1-=a 3 解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r C T ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--kk k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-∴K K K K 1922211 解得43≤≤k ， ∴系数最大的项为第３项2537x T =和第４项2747x T =。

４ 解：当x >0时，n x x )21(-+＝n xx 2)1(-, 其通项为：1+r T =r rn n xx C )1()(22--=rn r n r xC 222)1(--,令2n -2r ＝0,得：n =r ,∴展开式中的常数项为:nn r C 2)1(-；当x ＜0时,n x x )21(-+=n xx 2)1(-+-, 同理:展开式中的常数项为:nn r C 2)1(-； 无论哪一种情况，常数项均为nn r C 2)1(-． 令nn r C 2)1(-=-20，得n =3．5 解法①:2525(32)[(2)3]x x x x ++=++,2515(2)(3)r r rr T C x x -+=+,当且仅当1r =时,1r T +的展开式中才有x 的一次项,此时124125(2)3r T T C x x +==+,所以x 得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =。

解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+故展开式中含x 的项为4554455522240C xC C x x +=，故展开式中x 的系数为240.6解：(1）展开式前三项的系数分别为)1(81)21(,221,12221-=⋅=⋅=n n C n C C n n n . 由题设可知：)1(81122-+=⋅n n n解得:ｎ=８或ｎ=1（舍去).当ｎ＝８时，r r rr x x C T --+⋅⋅=)2()(4881=r r r xC 43482--⋅⋅.据题意,4－r 43必为整数,从而可知r 必为4的倍数, 而０≤r ≤8,∴r ＝0,4，8.故x 的有理项为:41x T =，x T 8355=,292561x T =． （2）设第r ＋1项的系数1+r t 最大，显然1+r t >0, 故有rr t t 1+≥1且12++r r t t ≤1.∵r r t t 1+＝r rC C r r r r 29221188-=⋅⋅+---,由rr29-≥1，得r ≤３． ∵12++r r t t ＝r r C C rr r r -+=⋅⋅---+8)1(2228118, 由rr -+8)1(2≤1,得r ≥2.∴r =2或r ＝3，所求项分别为2537x T =和4747x T =．7 解：(1)∵第５项的系数与第３项的系数的比是10:1,∴110)2()2(2244=-⋅-⋅CC nn ,解得n ＝8 令ｘ=1得到展开式中各项的系数和为(1-2）8=１(2) 展开式中第ｒ项, 第ｒ+1项,第r+2项的系数绝对值分别为r n r C --⋅218,r r C 28⋅,1182++⋅r r C ，若第ｒ+1项的系数绝对值最大,则必须满足：r n r C--⋅218≤r rC 28⋅ 并且1182++⋅r r C ≤r rC 28⋅,解得５≤r ≤6;所以系数最大的项为T 7=179２111x ⋅;二项式系数最大的项为T 5=11２061x ⋅ 8分析：因为6998.0=6)002.01(-,故可以用二项式定理展开计算。

解：6998.0=6)002.01(-＝621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T ， 且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。

∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈＝988.0012.01=- ９证明:15151-=1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.495151515050512492515015151051-+++++C C C C C=49Ｐ+1251-(*∈N P )又 1)2(1217351-=-=(7+1)171-=17.....7.7.7.17171617152171611717017-+++++C C C C C=7Q （Q *∈N ))(77715151Q P Q P +=+=-∴15151-∴能被7整除。

1０证明:ﻫ能被64整除.11 分析 转化为二项展开式来求．解法一 9１92=（1００-9)9２=１0092—C 192·1０091·９+C 292·1００９0·92— …—C 9192·1０0·９９１+９92,前面各项均能被1０0整除，只有末项９92不能被10０整除，于是求99２除以1０0的余数．∵992=(10－1)92=1092—C 192·1091＋C 292·１０90—…+C 9092·10２—C 9192·10+(－1)92=1092—C 192·1０９1+C 292·１０90—…＋C 9092·102—９2０＋１ ＝(1０92—C 192·1０91+C 292·1090—…＋C 9092·１0２—100０)+81 ∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为８1． 解法二 ∵９1９2=（90+1）９2=C 092·9092+C 192·90９1+ …+C 9092·902+C 9192·9０+1 由于前面各项均能被10０整除,只有末尾两项不能被100整除， 由于C 9192·90+１=８28１＝820０+8１ ∴被10０除余81.1２分析 ∵2n+１=C n 01++C n 11++C n 21+＋…＋C n n 1+＋C n n 11++ ∴右边＝11+n （C n 11+＋C n 21++…+C n n 1+＋C n n 11++) 比较左、右两边和，只要证明k 1·C k n 1-＝11+n C k n 1+即可.证明 k 1·C k n 1-＝k1·)!1()!1(!+--k n k n =)!1(!!+-k n k n ＝11+n ·)!1(!)!1(+-+k n k n ＝11+n C k n 1+∴C n 0+21C n 1＋31C n 2+…＋11+n C n n=11+n （C n 11++C n 21++…＋C n n 1+＋C n n 11++）=11+n （２ｎ＋1－1）１３解：原式=nn n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 14分析:注意将此式还原成二项展开式的结构 ﻫ 原式=15解:（1）,)1(2212111223122021q a q a q a a C a C a C a -=+-=+-.)1(3331312111334233132031q a q a q a q a a C a C a C a C a -=-+-=-+-归纳概括的结论为:若数列{ａn}是首项为a1,公比为q 的等比数列,则n nn n n n n n n q a C a C a C a C a C a )1()1(1134231201-=-++-+-+ ,n 为整数． 证明：nn n n n n n n C a C a C a C a C a 134231201)1(+-++-+- n n n n n n n n C q a C q a C q a qC a C a 133********)1(-++-+-= .)1(])1([13322101n n n n n n n n nq a C q C q C q qC C a -=-++-+-= （3）因为,111qq a a S nn --=所以nn n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-nn n n n n n C qq a a C q q a a C q q a a C q q a a ---++--+-----=+1)1(11111123111211011 --++-+--=])1([132101nn n n n n n C C C C C qa .)1(1])1([113322101n nn n n n n n n q q q a C q C q C q qC C q q a --=-++-+--１6．解:(１）680!3)17)(16)(15(315-=---=-C ． （4分）(２）)32(616)2)(1()(2213-+=--=xx x x x x C C x x . （6分) ∵ x > ０ , 222≥+xx .当且仅当2=x 时，等号成立. ∴ 当2=x 时，213)(x xC C 取得最小值. (８分）（３）性质①不能推广,例如当2=x 时,12C 有定义,但122-C 无意义; (１0分）性质②能推广,它的推广形式是m x m x m x C C C 11+-=+,ｘ∈R , m 是正整数. （12分)事实上,当ｍ=1时,有11011+=+=+x x x C x C C . 当m ≥２时．)!1()2()1(!)1()1(1----++--=+-m m x x x m m x x x C C m xm x⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+--=11)!1()2()1(mm x m m x x x !)1)(2()1(m x m x x x ++--= mx C 1+=.（14分)。