方法精讲-数量 4（笔记）学习任务：1.课程内容：容斥原理、排列组合与概率2.授课时长：3小时3.对应讲义：178页～184页4.重点内容：（1）掌握两集合公式，三集合的三种公式——标准型、非标准型、常识型（2）掌握图示法在容斥原理中的运用，理解容斥原理结合最值的考法（3）掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，正难反易则从反面求解（4）掌握两种经典方法（捆绑法、插空法）的适用范围和操作步骤（5）掌握概率问题的两种题型——给情况求概率或给概率求概率第八节容斥原理【注意】本节课主要讲容斥原理和排列组合和概率，预习的时候可能觉得很难。

容斥问题有公式和方法，需要学习方法和公式；排列组合和概率是高中知识，比较难，但是考试不会像高中一样深，本节课会用最浅显的形式讲解，无论高中学过与否，这节课要从零开始全部拿下。

【知识点】容斥原理：多个集合有交叉有重复。

比如班级有男有女，此时男生是一个集合，女生是一个集合，但是没有交叉，故不是容斥。

班级中无论男女有行测学得好的，也有申论学得好的，此时一定有交叉（行测和申论都学得好），行测学得好的是一个集合，申论学得好的是一个集合，重合部分是一个交叉，多个集合有交叉，是容斥问题。

【知识点】两集合：1.推导：左边的圆为 A，右边的圆为 B，中间重合部分是 AB 的交集，即中间部分相加的时候出现两次，需要减去一次，“A+B-A∩B”完整对应圆覆盖的整体，“全部”是外面框框，代表一个总体范围，“都不”是框内空白区域，公式：A+B-A∩B=全部-都不。

2.例子：左边 A 是行测比较好的，有 70 人；右边B 是申论比较好的，有 60 人，班级中有 31 人行测和申论都比较好，全班一共有 100 人，求行测和申论都不好的有多少人。

答：代入公式：70+60-31=100-都不，99=100-都不，解得：都不=1。

3.公式：A+B-A∩B=全部-都不。

【例 1】（2017 广东）某单位有 107 名职工为灾区捐献了物资，其中 78 人捐献衣物，77 人捐献食品。

该单位既捐献衣物，又捐献食品的职工有多少人？A.48B.50C.52D.54【解析】例 1.出现“既……又……”，两个集合有重复，两集合容斥原理问题，公式：A+B-A∩B=总数-都不。

设都捐献的为 x，已知“有 107 名职工为灾区捐献了物资”，即都不=0，代入数据：78+77-x=107-0，利用尾数法，尾数 5-x=尾数 7，x 的尾数为 8，对应A 项。

【选A】【注意】本题不是很严谨，“都不”可以不是 0，比如捐帐篷，此时也是衣物和食品都不捐。

例 2（2018 联考）某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级：两项测评都不合格的为次品，仅一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优品。

某批产品只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的 2 倍，测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为 6：5。

若该批产品次品率为 10%，则该批产品的优品率为（）。

A.10%B.15%C.20%D.25%【解析】例 2.出现“测评Ⅰ和测评Ⅱ”“两项测评都合格”，两个集合有交叉，两集合容斥问题。

当读题读不明白，感觉题干抽象，比较晕、绕时，可以画图分析。

两集合画两个圆，外面再画一个框，左边标测评Ⅰ，右边标测评Ⅱ，中间交叉部分是优品，空白部分是次品；左边红色“月亮部分”是只有测评Ⅰ合格，次品率=次品/总量=10%。

题干中没有具体数值，只有倍数和比例，求的也是比例，可以考虑赋值。

根据设小不设大、信息最大化原则，可以赋值中间优品数为 1件，“只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的 2 倍”，则只有测评Ⅰ合格的为 2 件，测评Ⅰ合格的为 2+1=3 件；“测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为 6：5”，则测评Ⅱ合格的为 3*5/6=2.5 件，只有测评Ⅱ合格的为 2.5-1=1.5 件，“批产品次品率为 10%”，则（2+1+1.5）/总数=90%，总数=4.5/90%=5，优品率=优品数/总数=1/5=20%，对应 C 项。

【选C】【注意】1.容斥问题中感觉题目绕的时候可以考虑画图法，将每个数标出来即可。

2.例1 全部可以套公式，例 2 出现公式之外的量，典型特征是“只满足某一个集合”，比如题干中出现“只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的 2 倍”，可以考虑画图法。

3.赋值多少对做题没有影响，只是将题目变得简洁。

本题也可以设未知数解题，一般会赋值比较小和比较好算的值。

【例 3】（2016 四川）某学校 2015 年有 64%的教师发表了核心期刊论文；有40%的教师承担了科研项目，这些教师中有 90%公开发表了论文，这些论文均发表在核心期刊上。

则发表了核心期刊论文但没有承担科研项目的教师是承担了科研项目但没有发表论文的多少倍？A.4B.7C.9D.10【解析】例 3.分两大类，一部分是发表论文，一部分是承担科研项目。

“有40%的教师承担了科研项目，这些教师中有 90%公开发表了论文，这些论文均发表在核心期刊上”，这里 90%指的是 40%的科研教师又发表论文，“这些论文均发表在核心期刊上”指的和前面发表论文有交叉重合。

最后一句比较绕，可以画图分析。

左边是核心期刊，占比 64%；右边是科研项目，占比 40%，出现占比，考虑赋值。

赋值总人数为 100 人，则核心期刊为 64 人，科研项目为 40 人，中间交叉重合部分为 36 人（40*90%=36），“发表了核心期刊论文但没有承担科研项目”，代表左边蓝色“月牙形”，则只发表核心期刊为 64-36=28 人；“承担了科研项目但没有发表论文”，代表右边蓝色“月牙形”，则只科研项目为 40-36=4 人，列式：28/4=7，对应 B 项。

【选B】【知识点】三集合：考试较多。

1.标准型公式（高中讲过）：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=全部-都不。

2.推导：有 A、B、C 三个圆圈，先将A、B、C 相加，即 A+B+C；红色椭圆代表A∩B，在 A+B 中出现两次，依次类推，A∩B、B∩C、C∩A都重复计算了一次，需要减去，即 A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A；中间三者交叉的区域（蓝色部分），A+B+C 时加了三次，减A∩B、A∩C、B∩C的时候也减了三次，此时蓝色部分没有了，还需要再补一次，即 A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C，公式：A+B+C-A∩B-B∩ C-C∩A+A∩B∩C=全部-都不。

3.推导思路：各加、去重、补漏。

例4（2018 陕西）有关部门对 120 种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有 68 种，防腐剂达标的有 77 种，漂白剂达标的有 59 种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有 54 种，防腐剂和漂白剂都达标的有 43 种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有 35 种，三种食品添加剂都达标的有 30 种，那么三种食品添加剂都不达标的有（）种。

A.14B.15C.16D.17E.18F.19G.20 H.21【解析】例 4.已知三种情况（抗氧化、防腐剂、漂白剂），分别给出两两交集，三集合标准型容斥问题，公式：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=总数-都不。

设都不为x，代入数据：68+77+59-（54+43+35）+30=120-x，选项尾数不同，用尾数法，尾数 4-尾数 2=尾数 0-x，尾数 2=尾数 0-x，则 x 的尾数为 8，对应 E 项。

【选E】【知识点】三集合：1.非标准型公式（考查较多）：A+B+C-满足两项-满足三项*2=全部-都不。

2.推导：如图，三个圆圈分别代表 A、B、C，用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表示交叉的部分。

计算 A+B+C 时，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都算了 2 次，需要各去掉 1 次，Ⅳ出现了 3次，意味着多了 2 次，需要去掉 2 次，得到：A+B+C-Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ-Ⅳ*2=全部-都不。

Ⅰ为满足 A、B 两项，Ⅱ为满足 B、C 两项，Ⅲ为满足 A、C 两项，所以“Ⅰ+Ⅱ+ Ⅲ”为满足两项。

在公务员考试中，“满足两项”指的是“仅满足两项”，中间Ⅳ为满足三项，“满足两项”指的是不多不少，恰好两项。

如果说“满足至少两项”，此时是满足两项+满足三项。

3.公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=全部-都不。

4.区分三集合标准和非标准公式：考查重点是非标准公式。

如果出现“既…… 又……”，用标准型公式；如果没有出现“既……又……”，用非标准型公式；或者出现“满足两项”的情况，用非标准型公式。

【例 5】（2017 重庆选调）一项农村家庭的调查显示，电冰箱拥有率为 49%，电视机拥有率为 85%，洗衣机拥有率为 44%，至少有两种电器的占 63%，三种电器齐全的占 25%，则一种电器都没有的比例为：A.10%B.15%C.20%D.25%【解析】例 5.出现电冰箱、电视剧、洗衣机三个集合，且有重复，三集合容斥原理问题。

出现百分数，考虑赋值法，赋值总体为 100，此时电冰箱为 49，电视剧为 85，洗衣机为 44。

题干中没有出现“既……又……”，则用非标准公式，A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。

设都不为 x，“三种电器齐全的占25%”，即满足三项为 25；“至少有两种电器的占 63%”，即满足两项=63-25=38；代入数据：49+85+44-38-25*2=100-x，用尾数法，尾数 8-尾数 8=尾数 0-x，解得 x 的尾数为0，排除 B、D 项；计算式子，178-38-50=100-x，90=100-x，解得 x=10，对应A 项。

【选A】【注意】1.至少有两种中的“至少”是大于等于的意思，即至少满足两项= 满足两种+满足三种。

2.电视机的拥有率为 85%，如果问一种电器都没有的情况，即没有电冰箱，且没有洗衣机和没有电视机。

理论上讲，什么都没有的情况下应该比 15%小，对应A 项。

【答案汇总】1-5：ACBEA例 6（2018 江西）某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为 90%，在调查对象中有 180 人会利用网络课程进行学习，200 人利用书本进行学习，100 人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有 50 人，同时使用两种方式学习的有 20 人，不存在三种方式学习都不用的人。

那么，这次共发放了多少份问卷？（）A.370B.380C.390D.400【解析】例 6.三集合有交叉，出现“同时使用两种方式”，三集合非标准型公式，A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。

“不存在三种方式学习都不用的”，即都不=0，代入数据：180+200+100-20-50*2=总数，解得：总数=360。

选项没有360，如果有 360，有同学可能误选 360，或者有同学认为自己计算错误，错选了接近360 的 A 项。