实变函数论主要知识点
第一章集合
1、 集合的并、交、差运算；余集和 De Morgan公式；上极限和下极限；
练习：①证明 A B C A BUC ；
1
②证明 E[f a] U E[f a -]；
n 1
n

2、 对等与基数的定义及性质；

练习：①证明（0,1） : ?；
②证明（0,1） : [0,1]；
3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集
合的基数；
练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；
② 证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；
③ Q ______ ；
④ [0,1]中有理数集E的相关结论；
4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；
练习：①丽 ______________ ；
② P _________ （ P 为 Cantor 集）
；
占
八、、

1、度量空间，n
维欧氏空间中有关概念

度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的 距离是可
定义的。

n
维欧氏空间

：

设v是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若v上定义着 正定对称双线

性型 g( g称为内积)，则v称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有 时仅当v是有限维时，才称
为欧几里德空间) 。具体来说，g是v上的二元实值函数，满足
如下关系：

(1) g(x,y)=g(y,x)；
(2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
(3) g(kx,y)=kg(x,y)；
(4) g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法) ；开核，导集，闭包的概念、性质及判
定(求法)；

聚点:有点集E，若在复平面上的一点 z的任意邻域都有 E的无穷多个点，贝U 称z为E的 聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P) € E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造;
4、 Cantor集的构造和性质；
o _
5、 练习：① P ________ , P _________ , P _________
1 1
② 1,-, L ,—丄= ；
2 n

第三章测度论
- 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性） ；
2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算
封闭）；可数可加性（注意条件）；
3、 零测度集的例子和性质；
4、 可测集的例子和性质；
练习： ①mQ _________ ， mP _____ ；
② 零测度集的任何子集仍为零测度集；
③ 有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；
④ ［0,1］中有理数集E的相关结论；
5、 存在不可测集合；
第四章可测函数
1、 可测函数的定义，不可测函数的例子；
练习：①第四章习题3 ；
2、 可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理） ；
3、 叶果洛夫定理及其逆定理；
练习：①第四章习题7 ；
4、 依测度收敛的定义、简单的证明；
5、 具体函数列依测度收敛的验证；
6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子;
第五章积分论
1非负简单函数L积分的定义；
练习： ①Direchlet函数在? 1上的L积分
2、 可测函数L积分的定义(积分确定；可积)；基本性质(§ 5.4定理1和定理2诸条)；
3、 Lebesgue控制收敛定理的内容和简单应用；
4、 L积分的绝对连续性和可数可加性(了解) ；
5、 Riemann可积的充要条件；
练习： ①［0,1］上的Direchlet函数不是R-可积的；
6、 Lebesgue可积的充要条件：若f是可测集合E上的有界函数，则f在E上L-可积
在E上可测；
练习： ①［0,1］上的Direchlet函数是L-可积的；

- x3,x
为无理数

②设f(x) 亠 ，则f(x)在0,1上是否R 可积，是否L 可积,
10,x
为有理数

若可积，求出积分值。
例1、求由曲线
2sin ,

解：两曲线的交点 上
2
-

2 ,6 ,

1 — 2
S 2 06 2 sin d

0
2

0
6
(1 cos2 )d

1 .
sin
2

2
cos2

1
cos2

2

所围图形公共部分的面积

cos2
1
si n2

2

例2.边长为a和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液体中，薄片长边a与液面平行位于深为 h处，而
薄片与液面成 角，已知液体的密度为 ，求薄片所受的压力
解：取x为积分变量，变化区间为［h,h+bsin ］从中取［x,x+dx］知道面积元素
dS
压力兀素
dP xa
h b sin
dx
P xa
h
sin

dx
-,
则
sin
1
h bsin

a - - xdx
sin
h

ab (h bsin )

2

dx
a
sin