，xi {xni } 1 ai (i 1,2,3, ) 0，xi {xni }
则f ({xni })为(0,1]中的二进制小数，且
11 f : A (0,1],
于是 A (0,1] c.
20.证明A为无限集的充分必要条 件是它可与其 本身的某一真子集对等 .
所以
n N
An (0, ), An ,
n N


n
lim An An (0, ) (0, ).
N 1 n N N 1
n
lim An An .
N 1 n N N 1



n 2m 1 （ 2 ） . lim An （ { 0，y） 0 y } （ { x， 0 ） 0 x }.
1 8.证明：若 A2 m [0,2m] [0, ]， 2m 1 1 ） . lim An （ { 0， 0 ） }. A2 m 1 [0, ] [0,2m 1]， 则 （
n
证明：（ 1 ） n，有（ 0， 0 ） An N 1, n N , 有（ 0， 0 ） An 即（ { 0， 0 ） } lim An . （ 0， 0 ） lim An
9.作(1,1)和(,)的1 1对应，并写出这一对应 的 解析表达式 . 解.令f : (1,1) (,) x f ( x) tan( x) 2 则f是(1,1)到(,)的1 1对应. 11.证明：所有有理系数多 项式组成一可数集 . 证明：对n： An {a0 a1 x a2 x 2 an x n a0，a1， ，an Q}
故B中元素是由互不相交的 开区间构成，由 10题知， B至多可数，从而 A至多可数.
14.设f ( x)在[a, b]单增，且f ([a, b])在[ f (a), f (b)] 中稠密，证明 f ( x)在[a, b]上连续.
证明: 若f ( x)在[a, b]间断，由于 f ( x)在[a, b]单增，
1 0，x 2 1 1 x f ( x) , x (n 3,4, ) n n 2 x, x (0,1) A
则f是(0,1)到[0,1]的1 1对应.
16. A a A A, 满足 A ~ A，且 A A 可数 .
即总有 Ai Bi .
i 1 i 1 n n
i0 n
i 1
i 1
故 Bi Ai .
i 1 i 1
n
n
1 7.设A2 n 1 (0, )，A2 n (0, n)，求集列的上、下极限 . n
解：由于对 n : A2n 1 A2n 1 A1 A2 A2n A2n 2
6.设{ An }是一集列，作 B1 A1 , Bn An Ai ( n 1), 则{Bn }是一列互不相交的集， 且 Bi Ai (n 1)
n n i 1
n 1
证明：设m n 1, 则当n 1时,
m 1 i 1 m 1 i 1 m 1 i 1
上的间断点集为 A, B {( f ( x 0), f ( x 0)) x A}, 令g : A B x g ( x) ( f ( x 0), f ( x 0)) 则g是A到B的一一对应 . x1，x2 A，不妨设x1 x2 ,由f在[a, b]单增，对 x1 x2 x1 x2 x ( x1 , ), y ( , x2 )，im An .
(2).( x, y ) 左 lim An N , n N , 使( x, y) An
n
存在无穷多个 n, 使( x, y) An 1 存在无穷多个 n, 使( x, y ) A2 n [0,2n] [0, ] 2n 或存在无穷个n, 使( x, y ) A [0, 1 ] [0,2n 1] 2 n 1 2n 1
x [0,), y 0或x 0, y [0,)
( x, y) （ { 0，y） 0 y } （ { x， 0 ） 0 x } 右.
故左 右.
( x, y) 右 （ { 0，y） 0 y } （ { x， 0 ） 0 x } x [0,), y 0或x 0, y [0,) y 0, N , 使得0 x N 或x 0, N , 使得0 y N y 0, N ,当2n N , 有0 x 2n 或x 0, , N ,当2n 1 N , 有0 y 2n 1 1 N ,当2n N , 有( x, y ) A2 n [0,2n] [0, ], 或 2n N ,当2n 1 N , 有( x, y ) A [0, 1 ] [0,2n 1] 2 n 1 2n 1 存在无穷多个 n, 使( x, y) An ( x, y ) lim An 左 n 故右 左. 即左 右.
的元素由n 1个变量a0，a1， ，an所确定，且每一个
变量各自跑遍一个可数 集Q, 故An可数.从而所有有
理系数多项式组成之集 An可数 .
n 1
13.证明：单调函数的间断 点至多可数 .
证明：设f ( x)在[a, b]单增，x0 [a, b], 若f ( x)在x0连续，则f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 );
若f ( x)在x0间断，则f ( x0 0) f ( x0 0).记f在[a, b]
x1 x2 f ( x1 ) f ( x) f ( ) f ( y ) f ( x2 ), 2 分别令x x1 0, y x2 0,由上式得
x1 x2 f ( x1 ) f ( x1 0) f ( ) f ( x2 0) f ( x2 ) 2 于是 （f ( x1 0)，f ( x1 0) ） （f ( x2 0)，f ( x2 0) ） .
* * *
证明： .1 .若 A a，设 A {a1 , a2 , , an , },
o
取A* {a2 , a4 ,, a2n , } A, 则A* ~ A，且 A - A {a1, a3 ,, a2n1, }可数.
*
2 .若 A a，则 可数 A0 A, 且A - A0为无限集 .
n n
（x, y） lim An N , n N , 有（x, y） An
N , n N , 有（x, y） A2n且（x, y） A2n1,
（x, y） （ 0， 0 ）
即（ { 0， 0 ） } lim An .
n
n
n
n i 1
Bi Ai .
i 1 n i 1
n
i 1 n
i 1
又对 x Ai , 若x A1，则 x B1 Bi ;
i 1
若x A1，则i0 (i0 2,3,, n), 使得x Ai0，
但x Ai (1 i i0 ), 从而x Ai0 Ai Bi0 Bi .
则x0 [a, b], 使得 f ( x0 0) f ( x0 0), 且 ( f ( x0 0), f ( x0 0)) [ f (a), f (b)], 由于f的函数值在 ( f ( x0 0), f ( x0 0))内只能取到一
点f ( x0 ), 所以这与 f ([a, b])在[ f (a), f (b)]中稠密矛
o
（A A0 ） 否则，若A A0为至多可数集，则A A0
1.2.10知A A0 ~ A. 可数，与 A a矛盾 . 故由定理
记A* A A0 , 则A* A, A* ~ A, 且A A* A0可数.
17 .证明： [0,1] Q c, 并建立 1 1对应.
即Ai为A中i个元素所成之集，则 Ai可数，从而 A的所有
有限子集作成的集合 Ai可数 .
i 0
19.设{xn}为一序列 , 其中元素彼此互异，证 明它 的子序列全体组成势 c为的集.
证明：设 A {{xni }{xni }是{xn }的子序列 } ，对
{xni } A, 令f ({xni }) 0.a1a2 ai , 其中
则f是[0,1] Q到[0,1]的1 1对应.故[0,1] Q c. 18.设 A a, 证明 A的所有有限子集作成的 集合可数 .
证明： .由于 A a，所以设 A {a1 , a2 , , an , }. 记. Ai {(an1 , an2 , , ani ) an1 , an2 , , ani A}(i 0,1,2, ),
i 1
i 1
Bm B1 ( Am Ai ) B1 [ Am C ( Ai )] B1
i 1
m 1
[ Am ( CAi )] A1 Am [( CAi ) A1 ] .
当n 1时, m 1 n 1 Bm Bn ( Am Ai ) ( An Ai )
2 2 2 证明：记A { , , , , }, 2 3 n [0,1] Q {r1, r2 ,, rn ,}, 则 [0,1] Q ([0,1] A Q) A，
[0,1] ([0,1] A Q) [ A {r1, r2 ,, rn ,}]. 令f : [0,1] Q [0,1] 2 2 ，x (n 1,2,3, ) 2n n 1 2 x f ( x) rn，x (n 1,2,3, ) 2n 1 x, x [0,1] A Q