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中南大学2015高等数学下期末题及答案

1---○---○------○---○---………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题,密封线外不准填写考生信息,违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线…………一、填空题(每小题3分,总计15分)1、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为( )2、曲面42222-+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为( )3、设Ω是由曲面22z x y =+及平面1z =围成的闭区域,则(),,d d d f x y z x y z Ω⎰⎰⎰化为顺序为z y x →→的三次积分为( )4、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑⎰⎰可化为二重积分为( )5、微分方程212y x y'=-满足初始条件()10y =的解为( )23分,总计15分)=1绕z 轴旋转而成的曲面为( )152=z ; (B )154222=+-z y x ; 152=z ; (D )()15422=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,,f f f fx y x y y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂,则( ) 2fy x∂∂∂; (B )则(,)f x y 在区域D 内必连续; D 内必可微; (D) 以上都不对 其中D 由2y x =及2y x =-所围成,则化为二次积分后的结果为I = xydy ; (B )⎰⎰-+2122y yxydx dy ;⎰⎰-+412xx xydy dx (D )⎰⎰-+2122y yxydy dx2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段,则=⎰( )(B ); (C ; (D )2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解, 则( ).(B )12y y -也是方程的解(D )122y y -也是方程的解3三、(10分) 设平面∏:2450x y z ---=,且直线:30x y b l x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面∏上,求,a b 的值.4…………评卷密封线………… 密封线内不要答题,密封线外不准填写考生信息,违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线…………四、(10分)已知函数(,)f x y x y xy =++,曲线22:3C x y xy ++=,C 上的最大方向导数.5五、(10分)计算由旋转抛物面226z x y =--及锥面z =所围成的立体的体积.六、求解下列各题(每题9分,共18分){},1d d xy x y ,其中{}(,)02,02D x y x y =≤≤≤≤.sin )()y y dx x e dy +++,其中L 是从(1,0)A 沿y =到(1,0)B -的6七、(10分)计算I xydydz yzdzdx xzdxdy ∑=++⎰⎰,其中∑是平面0,0,0,2x y z x y z ===++=所围空间区域整个边界曲面的外侧.7…………评卷密封线…………密封线内不要答题,密封线外不准填写考生信息,违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线…………有二阶连续导数,(cos )xz f e y =满足2cos )xy e ,若(0)0,(0)0f f '==, ()f u 的表达式.D.(),()3y x b z x a x b =-+=-+-,代入平面∏方5,2a b =-=-.8解法二:过直线l 的平面束方程设为3()0x ay z x y b λ+--+++= (或(3)0x y b x ay z λ++++--=),即(1)()30x a y z b λλλ+++--+= (或(1)(1)30x a y z b λλλλ+++-+-=), 由题意知11241a λλ++-==--(或11241a λλλ++-==--), 解得5,1a λ=-=,将5,1a λ=-=及平面∏上的点(1,2,5)-代入平面束方程,求得2b =-.四.解:最大方向导数即为梯度的模,(,)(1,1),(,)gradf x y y x gradf x y =++=令2222(,,)(1)(1)(3)F x y x y x y xy λλ=++++++-,由222(1)(2)02(1)(2)030x y F x x y F y y x x y xy λλ=+++=⎧⎪=+++=⎨⎪++-=⎩,解得1211,,,1112x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩,比较:(1,1)gradf =(2,1)(1,2)3gradf gradf -=-=,(1,1)0gradf --=,所以(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数为3.五.解法一: 26222032(6)3xyr rD V dv rdrd dz d r r rdr πθθπ-Ω===--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 解法二:1226262120202832(6)833z zD D V V V dz dxdy dz dxdy z dz z dz πππππ=+=+=+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.六.解: 1.123D D D I dxdy dxdy xydxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰912221110221x xdx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰19ln 24=+ 2.因为1P Q y x∂∂==∂∂,所以该曲线积分与路径无关, 选择积分路径从(1,0)A 沿x 轴到(1,0)B -,易得11(10)2I dx -=+=-⎰七.解法一:利用高斯公式,3222200()333 2.6xx yI xydydz yzdzdx xzdxdy y z x dvx zdv dx dy zdz dx ∑Ω---Ω=++=++-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对称性(2)解法二:在平面0,0,0x y z ===上,积分值为0,只需计算:2x y z '∑++=(取上侧)上的积分.因cos cos cos αβγ===(()dS I xydydz yzdzdx xzdxdy xy yz xz xy yz xz dxdy '''∑∑∑=++=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰[]22220(2)(2)()2xyxD xy y x y x x y dxdy dx x y xy x y dy -=+--+--=---++=⎰⎰⎰⎰.解法三:在平面0,0,0x y z ===上,积分值为0,只需计算:2x y z '∑++=(取上侧)上的积分.2202(2)(2)3xyxD xzdxdy x x y dxdy xdx x y dy -'∑=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由被积函数和积分曲面关于积分变量的对称性,可得23xydydz yzdzdx xzdxdy '''∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以,2323I =⋅=.八.解:(1)因为102222(cos )cos ,(cos )cos (cos )cos ,x x x x x x zzf e y e y f e y e y f e y e y x x∂∂''''==+∂∂ 2222(cos )sin ,(cos )sin (cos )cos ,x x x x x x zzf e y e y f e y e y f e y e y yy∂∂''''=-=-∂∂ 所以,已知条件22222(4cos )x x z zz e y e x y∂∂+=+∂∂化为22(cos )4(cos )cos x x x x xf e y e f e y e y e ''⎡⎤=+⎣⎦,所以函数()f u 满足方程()4()f u f u u ''=+.(2)方程()4()f u f u u ''=+的特征方程为240r -=,得特征根1,22r =± 所以,其对应齐次方程的通解为2212()uu f u C eC e -=+,设非齐方程的特解为*y Au B =+,代入原方程,得1,04A B =-=得非齐方程的一个特解为*4uy =-,故方程的通解为 2212()u u f u C e C e -=+4u-,由(0)0,(0)0f f '==得1212012204C C C C +=⎧⎪⎨--=⎪⎩,得1211,1616C C ==-, 故221()(4)16u uf u e e u -=--.。

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