1. 设 f ( x ) = cos x ( x + sin x ), 则在 x = 0处有 (. 1 + x ，β ( x ) = 3 - 33 x ，则当x →1时（i0 x 是 f ( x ) 的一个原函数 ,x d x =7. n →∞ n (cos n + cos ⎰ x 2 arcsin x + 1大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分))（A ） f '(0) = 2（B ） f '(0) = 1 （C ） f '(0) = 0（D ） f ( x ) 不可导.2.设α ( x ) = 1 - x ）.（A ）α ( x )与β ( x ) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）α ( x )与β ( x )是等价无穷小；（C ） α ( x ) 是比 β ( x ) 高阶的无穷小； （D ） β ( x ) 是比 α ( x ) 高阶的 无穷小.3. 若 F ( x ) = ⎰ 0x (2t - x ) f (t )dt， 其 中f ( x ) 在 区 间 上 (-1,1) 二 阶 可 导 且f '( x ) > 0 ，则（）.（A ）函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极大值； （B ）函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极小值；（C ）函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 y = F ( x ) 的拐点； （D ）函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 y = F ( x ) 的拐点。
4.设 f ( x )是连续函数，且 f ( x ) = x + 2 ⎰1 0f ( t )dt , 则 f ( x ) = ( )x 2x 2（A ） 2（B ） 2 + 2（C ） x - 1（D ） x + 2 .二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）2 5. l x →m( 1 +3 x) sinx =.6. 已知 cos x.则⎰ f ( x ) ⋅ cos xlim π 2 π 2 2πn + + cos 2n - 1n π ) =.1 2 8. － 1 .三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 设函数 y = y ( x )由方程 e x + y + sin( xy ) = 1确定，求 y '( x ) 以及 y '(0) .10.求 ⎰ 1 - x 7x (1 + x 7 ) d x .⎰ f ( x ) d x ．⎪g ( x ) = ⎰ f ( xt )dt M ( x , y ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x = x 所围成⎰ f ( x ) d x ≥ q ⎰ f ( x )dx⎰⎰ f ( x ) cos x dx = 0[0, π ]上连续，且 f ( x )d，02. 设函数 f ( x ) 在, ξ ，使 f (ξ1 ) = f (ξ2 ) = 0.（提证明：在 0, π 内至少存在两个不同的点 ξ11.⎧ x e - x ， x ≤ 0 设 f ( x ) = ⎨ 求⎪⎩ 2 x - x 2 ， 0 < x ≤ 11- 3112. 设函数 f ( x ) 连续， 0g '( x ) 并讨论 g '( x ) 在 x = 0 处的连续性.lim f ( x ) = A ，且 x →0 x，A 为常数. 求13. 求微分方程 xy ' + 2 y = x ln x 满足 y(1) =-19 的解.四、 解答题（本大题 10 分）14. 已知上半平面内一曲线 y = y ( x ) ( x ≥ 0) ，过点 (0,1) ，且曲线上任一点面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线，该切线与曲线 y = ln x 及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A ；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）1. 设 函 数 f ( x ) 在 [0,1 ] 上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的 q ∈ [0, 1] ，q 1.( ) π π x = 01 2.F ( x ) =x⎰f ( x )dx示：设0 ）( ) 2 + c5. .6. 2 x .7. 2 .8. .) s ' ( 原式 = ⎰ (1 - u ) du = 1 ⎰ ( 1 - 2 )du7 x = ⎡⎣ - xe - x - e - x ⎤⎦ 0+ ⎰ 0cos 2 θ d θ 令x - 1 = sin θ ) πg ( x ) = ⎰ f ( xt )dt = xt = u⎰ f ( u )duxf ( x ) - ⎰ f (u )du⎰ f (u )dux 2= lim解答一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1 cos xπ π e 6 3 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导e x + y ( 1+ y ' +c o xy ( xy ) + y = )y '( x ) = -e x + y + y cos( xy )e x + y + x cos( x y )x = 0, y = 0 ， y '(0) = -110. 解： u = x 7 6dx = du17 u (1 + u ) 7 u u + 1 1= (ln | u | -2ln | u + 1|) + c 7 1 2= ln | x 7 | - ln | 1 + x 7 | +C 7 711. 解：⎰ 1 -3 f ( x )dx = ⎰ 0 xe - x d x + ⎰ 1 2 x - x 2 dx-3 0= ⎰ 0xd (-e - x) + ⎰ 1 1 - ( x - 1)2 dx-3(-3-2= π- 2e 3 - 1412. 解：由 f (0) = 0 ，知 g (0) = 0 。
1xx ( x ≠ 0 )xg '( x ) =g '(0) = limx →0x0 x2x →0 ( x ≠ 0)f ( x ) A= 2 x 2= A - A2 2 ， g '( x ) 在 x = 0 处连续。
y = e - ⎰x dx (⎰ e ⎰ x dxln x dx + C )) , 其通解为 y = C e - x + C e 2 x C = 23 3( x , ln x ) ，切线方程： x （ （2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V 1，则16 ⎰ f ( x ) d x - q ⎰ f ( x )dx = ⎰ f ( x ) d x - q (⎰ f ( x ) d x + ⎰ f ( x )dx )lim g '( x ) = limx →0x →0xxf ( x ) - ⎰ f (u )du0 x2=Ady 2+ y = ln x13. 解： dx x2 211= x ln x - x + Cx -23 911 1 y ( 1 = - C = 0 y = x ln x - x9 ，3 9 四、 解答题（本大题 10 分）14. 解：由已知且 y ' = 2⎰ x y d x + y， 将此方程关于 x 求导得 y '' = 2 y + y '特征方程： r 2 - r - 2 = 0解出特征根： r 1 = -1, r 2 = 2.1 2代入初始条件 y (0) = y '(0) = 1，得1 2, C =1故所求曲线方程为： 2 1y = e - x + e 2 x3 3五、解答题（本大题 10 分）15. 解： 1）根据题意，先设切点为0 0 01y - ln x = ( x - x )0 0 由于切线过原点，解出 x 0 = e ，从而切线方程为： 1y = x e则平面图形面积 1 A = ⎰ (e y - ey )dy =1 2e - 1V =1π e 23曲线 y = ln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积 为 V 21V = ⎰ π (e - e y ) 2 dy2D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V = V - V = π(5e 2 - 12e + 3)1 2六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）q1q q 116. 证明： 00 0 0 q= (1- q )⎰f ( x ) d x - q ⎰ f ( x )dx =q (1 - q ) f (ξ ) - q (1 - q ) f (ξ )ξ ∈[0, q ]ξ ∈[ q ,1] ≥⎰ f ( x ) d x ≥ q ⎰ f ( x )dxF ( x ) = ⎰ f (t )dt ,0 ≤ x ≤ π证：构造辅助函数： 。
其满足在 [0, π ] 上连续，在 (0, π )|x π+ ⎰πsin x ⋅ F ( x )dx0 = ⎰ f ( x )cos xdx = ⎰ cos xdF ( x ) = F ( x )cos1 2故有：q 10 q1 2f (ξ ) ≥ f (ξ )1 2q1证毕。
17.x上可导。
F '( x ) = f ( x ) ，且 F (0) = F (π ) = 0由题设，有π π0 0 0，π⎰ F ( x )sin xdx有 0= 0，由积分中值定理，存在 ξ ∈ (0, π ) ，使 F (ξ ) sin ξ = 0 即 F ( ξ ) = 0综上可知 F (0) = F (ξ ) = F (π ) = 0, ξ ∈ (0, π ) . 在区间 [0, ξ ],[ξ , π ] 上分别应用罗 尔定理，知存在ξ1 ∈ (0, ξ ) 和 ξ 2 ∈ (ξ , π ) ， 使 F '(ξ1 ) = 0 及 F '(ξ 2 ) = 0 ， 即 f (ξ1 ) = f (ξ 2 ) = 0 .。