6 第一章 数字逻辑基础

第一节 重点与难点

一、重点：

1.数制

2.编码

(1) 二—十进制码（BCD码）

在这种编码中，用四位二进制数表示十进制数中的0~9十个数码。常用的编码有8421BCD码、5421BCD码和余3码。

8421BCD码是由四位二进制数0000到1111十六种组合中前十种组合，即0000~1001来代表十进制数0~9十个数码，每位二进制码具有固定的权值8、4、2、1，称有权码。

余3码是由8421BCD码加3（0011）得来，是一种无权码。

(2)格雷码

格雷码是一种常见的无权码。这种码的特点是相邻的两个码组之间仅有一位不同，因而其可靠性较高，广泛应用于计数和数字系统的输入、输出等场合。

3.逻辑代数基础

(1)逻辑代数的基本公式与基本规则

逻辑代数的基本公式反映了二值逻辑的基本思想，是逻辑运算的重要工具，也是学习数字电路的必备基础。

逻辑代数有三个基本规则，利用代入规则、反演规则和对偶规则使逻辑函数的公式数目倍增。

(2)逻辑问题的描述

逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、卡诺图和时序图，它们各具特点又相互关联，可按需选用。

(3)图形法化简逻辑函数

图形法比较适合于具有三、四变量的逻辑函数的简化。

二、难点：

1.给定逻辑函数，将逻辑函数化为最简

用代数法化简逻辑函数，要求熟练掌握逻辑代数的基本公式和规则，熟练运用四个基本方法—并项法、消项法、消元法及配项法对逻辑函数进行化简。

用图形法化简逻辑函数时，一定要注意卡诺图的循环邻接的特点，画包围圈时应把每个包围圈尽可能画大。

2.卡诺图的灵活应用

卡诺图除用于简化函数外，还可以用来检验化简结果是否最简、判断函数间的关系、求函数的反函数和逻辑运算等。

3.电路的设计

在工程实际中，往往给出逻辑命题，如何正确分析命题，设计出逻辑电路呢？通常的步骤如下： 7 1．根据命题，列出反映逻辑命题的真值表；

2．根据真值表，写出逻辑表达式；

3．对逻辑表达式进行变换化简；

4．最后按工程要求画出逻辑图。

三、考核题型与考核重点

1． 概念与简答

题型1为填空、判断和选择；

题型2为叙述基本概念与特点。

建议分配的分数为2～4分。

2．综合与设计

题型为与后续章节内容的综合型题目。

建议分配的分数为3～6分。

第二节 思考题题解

题1.1 什么是8421BCD编码？8421BCD码与二进制数之间有何区别？

答：8421BCD码又称二-十进制码，使用此代码来表示人们习惯的十进制数码的编码方法。8421BCD码是用0000-1111中前的10个数表示0～9，而二进制数是0000-1111每个值都有效，表示0～15的数。

题1.2 逻辑代数中有几种基本运算？其中与运算、或运算同二进制数的乘法和加法算术运算规律比较有何区别？

答：三种基本逻辑运算是与、或、非。与运算与一位二进制数的乘法运算结果相似，但是没有进位；或运算和一位二进制数的加法运算结果相似，但是当两个数都是1时，或运算的结果仍旧是1，而加法的结果是0，并有一位进位。

题1.3 设A、B、C为逻辑变量

若CABA，问B=C吗？为什么？

若CABA，问B=C吗？为什么？

若CABA且CABA，问B=C吗？为什么？

答：若A + B = A+ C B不一定等于 C，因为当A=1时，无论B和C取何值，等式两边都等于1，即A + B = A+ C。

若A·B = A·C B不一定等于 C，因为当A=0时，无论B和C取何值，等式两边都等于0，即A·B = A·C。

若A+ B = A+ C且A·B = A·C ，B一定等于 C。因为当A=0时，由A+ B = A+ C可得B=C；而当A=1时，由A·B = A·C可得B=C。由此可知，若A+ B = A+ C且A·B = A·C，无论A取何值，B=C。

题1.4 电路图如思考题1.4图所示。

（1）根据反演规则，写出F的反函数；

（2）根据对偶规则，写出F的对偶式；

（3）用最少数目的与非门实现函数F；

（4）用最少数目的与或非门实现函数F。

答：（1）ACBDAF))((⊙CBD

（2）AF⊙CBD 思考题1.4图 =1

≥1 & F A

D

C B 8 （3）CDADACDBADBAF

CDADACDBADBACDADACDBADBA

（4）CBADDACBDADACBDADAF))()((

题1.5 逻辑函数有几种表示方法？它们之间如何相互转换？

答：逻辑函数有五种常用表达方法，分别是与或式，或与式，与非与非式，或非或非式和与或非式。与或式和或与式是基本表达方法，它们之间的转化利用包含律，分配律等基本方法完成。与非与非式是由与或式两次取反，利用反演律变换的。或非或非式是由或与式两次取反，利用反演律变换的。与或非式是由或与式两次取反，然后两次用反演律变换的。

题1.6 最小项的逻辑相邻的含义是什么？在卡诺图中是怎样体现的？

答：最小项的逻辑相邻是指最小项内所含的变量中只有一个变量互为补，反映在卡诺图中是几何位置相邻。

题1.7 试总结并说出

（1）由真值表写逻辑函数式的方法；

（2）由函数式列真值表的方法；

（3）从逻辑图写逻辑函数式的方法；

（4）从逻辑函数式画逻辑图的方法；

（5）卡诺图的绘制方法；

（6）利用卡诺图化简函数式的方法。

答：（1）将真值表中每个输出为1的输入变量取值组合写成一个乘积项，若输入变量取值为1，乘积项中的因子用原变量表示，反之用反变量表示，然后将这些乘积项做逻辑加。

（2）给函数式中所有输入量依次赋值，观察取这些输入组合的情况下输出的状态，绘制真值表。

（3）逻辑图的逻辑符号就是表示函数式间的运算关系，将对应的逻辑符号转换成逻辑运算符，写成逻辑函数式。

（4）将逻辑函数式中的逻辑符号相应转化成各种逻辑门来表示。

（5）根据变量的个数决定卡诺图的方框数，卡诺图中行列变量的取值按循环码规律排列，以保证几何位置上相邻的方格其对应的最小项为逻辑相邻项。

（6）用卡诺图化简函数时，首先将函数填入相应的卡诺图中，然后按作圈原则将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量少，范围大，每个圈用对应的积项表示，最后将所有积项逻辑相加，就得到了最简的与或表达式。最简或与表达式化简是将所有取0的作圈，然后将所有圈用对应的和项表示，注意若圈对应的变量取值是0写成原变量，取1写成反变量，最后将所有和项逻辑乘。

题1.8 为什么说逻辑函数的真值表和最小项表达式具有唯一性？

答：对于任何一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，同样的，只有一组最小项的逻辑组合完全满足输出值为1。真值表是和最小项表达式相对应的。两者对于同一个逻辑

函数都是唯一的。

题1.9 什么叫约束项？如何用约束项化简逻辑函数？

答：输入变量的取值受到限制称受到约束，它们对应的最小项称为约束项。采用图解法对含约束项的逻辑函数进行化简，在对应的格内添上“×”，根据作圈的需要这些格可以视为“1”也可以视为“0”。

题1.10 试说明两个逻辑函数间的与、或、异或运算可以通过卡诺图中对应的最小项作与、或、异或运算来实现。 9 答：逻辑函数间的与、或、异或运算相当于逻辑函数各个最小项的运算，也就是卡诺图中对应项的运算。那么可以通过卡诺图将逻辑函数间的运算转换成若干一位的逻辑运算，然后化简得到最简的表达式。

第三节 习题题解

习题1.1将下列二进制数分别转换成八进制数、十六进制数和十进制数。

（1）100110； （2）100101101.110；

（3）10000111001.100101； （4）111111011010.10100111。

解：(100110)2=(46)8=(26)16=(38)；

(100101101.110)2=(455.6)8=(12D.C)16=(301.75)；

(10000111001.100101)2=(2071.45)8=(439.94)16=(1081.578125)；

(111111011010.10100111)2=(7732.516)8=(FDA.A7)16=(4058.65234375)。

习题1.2 写出下列十进制数的8421BCD码。

（1）（2003）D； （2）（99）D； （3）（48.5）D； （4）（12.08）D。

解：（1）（2003）D=(0010 0000 0000 0011)8421BCD；

（2）（99）D=（1001 1001）8421 BCD；

（3）（48.5）D=（0100 1000.0101）8421 BCD；

（4）（12.08）D=（0001 0010.0000 1000）8421 BCD。

习题1.3 写出习题1.3图（a）所示开关电路中F和A、B、C之间逻辑关系的真值表、函数式和逻辑电路图。若已知A、B、C变化波形如习题1.3图（b）所示，画出F1、F2 的波形。

解：设用输入变量A、B、C表示开关的状态，开关闭合用逻辑1表示，开关断开用逻辑0表示。输出变量F表示灯的状态，灯亮用逻辑1表示，灯灭用逻辑0表示。由此可列出开关电路的真值表如表1.2所示。

根据真值表可得函数的表达式

ABCBAABCCABCBAF1 习题1.3图 （a）电路图 A

U F1 B

U F2

A

B

C

（b） A、B、C变化波形 C C A

B 10 ACAB

ABCCABCBACBABCAF2

BCA

最后根据A、B、C波形，画出F1、F2波形如习题1.3图（c）所示。

习题1.4 用逻辑代数的基本公式和常用公式证明下列各等式。

（1）))((CABABCA

（2）))()()((DCCADBBAADBC

（3）CBAABCCBACBACBA

（4）ABCBCACABBCAB)(

解：BCABCBCABCABACACABA)1())((

(2) 根据上题的结果

ADBCBCDBCADCDBCABADCCADBBA))(()])()][()([())()()(((3) )()(BCCBACBCBAABCCBACBACBA

BACBA()(⊙CBACBACBAC)()()

(4) 根据吸收率

BCABBCAB)(

BCABCABCCABBCCABABCBCACAB)()(

习题1.5 试画出用与非门和反相器实现下列函数的逻辑图。

（1）ACBCABF

（2）BCACBACABF

（3）BCCBABAF))((

（4）)(BCBABABCAF

解：习题1.5通过公式转换，得出下列形式。（1）对应习题1.5图（a）；（2）对应习题1.5图（b）；（3）对应的习题1.5图（c）；（4）对应的习题1.5图（d）。 习题1.3图（c） 表1.2 开关电路的真值表

A B C F1 F2

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1 0

0

0

0

0

1

1

1 0

0

0

1

1

1

1

1

B A

F2 C

F1