《现代控制理论》课程综合设计单级旋转倒立摆系统1 引言单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。

其中摆的长度1l =1m ，质量1m =0.1kg ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =0.1kg ，重力加速度20.98/g m s =。

以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。

控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。

图1 单级旋转倒立摆系统模型单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。

倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。

在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。

作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。

本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。

2 模型建立本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量；1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。

倒立摆模型受力分析如图2所示。

图2 倒立摆模型受力分析摆杆水平方向受力平衡方程：2111222(0sin )2l d N m l dt θθ=++（1θ2l —横杆的转动弧长即位移）摆杆垂直方向受力平衡方程：2111122(cos )22l l d H m g m dt θ-=-摆杆转矩平衡方程：22111222sin cos 22d l lJ H N dt θθθ=-横杆转矩平衡方程：21222d M Nl J dt θ-=N考虑到摆杆在设定点12,=0θθ附近做微小振动，对上式进行线性化，即22sin θθ≈，2cos 1θ≈ ，20θ≈，其中23ml J =，近似线性化得到，()212222222120.10.50.98010.50.5130130d N dt H d H N dt d M N dt θθθθθ⎧=+⎪⎪-=⎪⎪⎨=⋅-⋅⋅⎪⎪⎪-=⎪⎩整理上式可得倒立摆的状态方程：21221114.71524110032M M θθθθθ••••••••⎧-+-⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩ 本文参数代入计算可得：12224.64211.05312.3799.474MMθθθθ••⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩ 取状态变量如下：11213242x x x x x θθθθ•⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112233440010000 4.642011.05300010012.37909.474x x x x M x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故[]1211341000x x y x x θ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦3 稳定性和能控性分析3.1 稳定性分析判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。

编写Matlab 语句可得该系统的传递函数，即 A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0]; B=[0;11.053;0;-9.474]; C=[1,0,0,0]; D=0;Gss=ss(A,B,C,D);G1=zpk(Gss)G1 =11.053 (s+2.898) (s-2.898) -------------------------- s^2 (s-3.518) (s+3.518)Continuous-time zero/pole/gain model.从结果可以看出，传递函数存在一个在复平面右半侧的极点，故该系统是不稳定的。

3.2 能控性分析判断系统是否完全能控，只需判断该系统能控性矩阵是否为满秩，即[]21n C Q BAB A BA B -=若CrankQ n =，则该系统是完全能控的。

根据Matlab 语句中Qc=ctrb(A,B)，即A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0]; B=[0;11.053;0;-9.474]; C=[1,0,0,0]; Qc=ctrb(A,B); n1=rank(Qc)n1 = 4从结果可以看出该系统是完全能控的，可以实现任意极点的配置。

3.3 能观测性分析与判断能控性类似，只需判断该系统能观测性矩阵是否为满秩，即01n C CA Q CA -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦若0rankQ n =，该系统是完全能观测的。

借用Matlab 语句中Qo=obsv(A,C)，即A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0]; B=[0;11.053;0;-9.474]; C=[1,0,0,0]; Qo=obsv(A,C); n2=rank(Qo)n2 = 4从结果可以看出该系统是完全能观测的，故可以配置状态观测器4 状态反馈分析4.1 原系统Simulink 仿真及分析根据现代控制原理，绘制原系统的状态模拟图，如图3所示。

图3 原系统状态模拟图运用MATLAB 中的Simulink 来对原系统进行仿真，首先可以得出原系统的4x 3x xSimulink仿真模型如下图4所示图4 原系统Simulink仿真图通过Simulink仿真可以得到原系统的零状态响应，其中初始值2=0.174，M=0，响应曲线如下图所示图5 原系统2θ和M 零状态响应曲线从仿真波形可以看出，在初始扰动情况下，摆杆不会稳定到垂直位置，横杆会一直运动，故原系统不稳定，这与上文所述传递函数有左半平面极点符合。

4.2 状态反馈分析由于原系统是不稳定的，要使系统稳定，需要加入状态反馈，使系统的极点全部位于左半平面，状态反馈的结构图如图6所示。

B⎰CBK()r t ()u t ()y t ()x t ()x t图6 状态反馈系统的结构图控制系统的各种特性及其品质指标在很大程度上是由其闭环系统的零点和极点的位置决定。

极点配置问题就是通过对状态反馈矩阵的选择，使其闭环系统的极点配置在所希望的位置上，从而达到期望的性能指标的要求。

极点配置是一个非常复杂的问题，是一个工程实践与理论相结合的问题。

我们这里采用一种工程实践中经常用到的简便方法-主导极点法，其基本思路是先根据期望的性能指标和经验公式确定一对主导闭环极点，然后将另外的非主导极点放在复平面上远离主导极点的位置设倒立摆控制系统期望的性能指标为：阻尼系数 ξ=0.6，调节时间 ts=2s 。

亦即控制系统在任意给定的初始条件下，能够以适当的阻尼 ξ=0.6 （大约 10%的超调），在 2s 钟内将摆杆恢复到垂直平衡位置。

根据控制理论的经验公式得到无阻尼自然频率为：ωn =4/ （ ts • ξ） =4/1.2=3.33 P=wn •ξ由上述条件的很容易构建一个二阶系统，其两个极点为： p1 = -2.0000 +2 j p2 = -2.0000 -2 j它们就是需要的主导极点，控制系统的性能主要由这两个主导极点决定。

另外两个非主导极点 （为简化取两个实数极点）经过反复试验整定，分别取距离两个主导极点4 倍和 5 倍的远处，即：p3 = -8.0000 p4=-10.0000本文设计的状态反馈要求系统期望的特征值为：-10;-8;-2+j;-2-j 。

手算求解状态反馈阵K 有待定系数法和直接法，由于矩阵A 阶数较高，本文使用Matlab 中K=place(A,B,P1)，求解K 。

A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0]; B=[0;11.053;0;-9.474]; P1=[-10;-8;-2+2j;-2-2j]; K=place(A,B,P1)K =-6.8931 -4.9957 -26.2369 -8.1525状态反馈[][]1234 6.8931 4.997526.23698.1525K k k k k ==----运用MATLAB 中的Simulink 来对原系统进行仿真，得到状态反馈模型仿真图如下图7所示。

图7 状态反馈Simulink仿真图同理可得，初始值2=0.174θ，M=0的零状态响应，响应曲线如图8所示。

图8 状态反馈系统2θ和M零状态响应曲线从响应曲线可以看出，在2=0.174θ，=0M的初始扰动下，经过3s左右的时间，摆杆回到垂直的位置，这说明加入状态反馈后可以使原系统达到稳定状态。

5 带状态观测器状态反馈系统分析5.1状态观测器的设计由于在系统建模时状态变量并不是都是能直接测量，因此人为地构建一个系统来实现状态重构也即状态观测。

状态观测器的结构图如下，即图9状态观测器的结构图观测器的状态方程为：()()x A x G y y Bu A GC x Bu Gy∧∧∧∧=+-+=-++显然选择观测器的系数矩阵A GC-的特征值均具有负复数，就可以使状态估计逐渐逼近状态的真实值。

本文设计全维状态观测器的特征值为：-10，-8，-2+2j，-2-2j，同理根据语句G=place(A’,C’,P2)可得123422.0000172.3790-158.6252-597.5613GGGGG⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5.2带状态观测器状态反馈分析带观测器的状态反馈系统由3个部分组成，即原系统，观测器和状态反馈。

图10 综合后Simulink仿真图初始值2=0.174，=0M的零状态响应曲线如下图11 综合后零状态响应曲线从上面响应曲线可以看出，加入观测器后系统在3s左右达到稳定，这是因为观测器后极点特征值的实部更加偏离原点，极点离远点越近，达到稳定的时间越短。

此外，综合后超调量略有增加。

综合后阶跃响应如图12所示。

图12 综合后阶跃响应曲线从响应曲线可以看出，加入阶跃M=1后，摆杆发生左右来回振荡，振荡幅度较大，最终摆杆处于垂直位置，横杆位于一个具体位置。

6 总结单倒立摆是一个非线性系统，通过近似线性变化，得到一个单输入单输出的线性定常系统。

选择一组状态变量11=x θ，2=x θ•，32=x θ ，42=x θ，线性定常系统做稳定性，能控性和能观测性分析，得出原系统是不稳定，完全能控的，完全能观测的。