例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数
列{}n a 的通项公式.
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公
式。

类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+
1. 已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。

类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+
2.1. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。

（2）递推式：()n f pa a n n +=+1
2.2．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数）。

3. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
类型4递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

4. 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=
++，求n a 。

类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =)
5. 已知数列{}n a 前n 项和221
4---=n n n a S .
（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .
例1．解：设数列{}n a 公差为)0(>d d
∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，
即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒
∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①
∵255a S = ∴211)4(2
455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：5
31=a ，53=d ∴n n a n 5
353)1(53=⨯-+= 例2．解：由1121111=⇒-==a a S a
当时，有
……， 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3
212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n
n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．
1.解：由条件知：1
11)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n
a a n 111-=- 211=a ，n
n a n 1231121-=-+=∴
2≥n ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--1122(1),
n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a .
2212-=a a 11221
122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[3
23
])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(2
1211211--------+=----=-++-+--+=n n n n n n n n n
2.1.解：由条件知
1
1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n
n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ，n
a n 32=∴ （2）．由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得： 由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，•••，12)1(a f a =依次向前代入，得
1)1()2()1(a f n f n f a n ⋅⋅⋅--=，
2.2．设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得 []1
2)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n
⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=∴13323A B B A A ⎩
⎨⎧==11B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n
n n b 32361⨯=⨯=-代入（１）得132--⨯=n a n n
3.解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23
311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .
4.解：由n n n a a a 3
13212+=++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++
即n n n sta a t s a -+=++12)(⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==+⇒3132st t s ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒311t s 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=131t s 这里不妨选用⎪⎩⎪⎨⎧-==311t s （当然也可选用⎪⎩⎪⎨⎧=-=1
31t s ，大家可以试一试），则)(3
1112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -⇒+1是以首项为112=-a a ，公比为31-的等比数列,所以11)3
1(-+-=-n n n a a ,应用类型1的方法，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之， 即2101)31()31()31
(--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=-n n a a 3
11)31(11+--=-n 又11=a ，所以1)3
1(4347---=
n n a 。

5.解：（1）由221
4---=n n n a S 得：11121
4-++--=n n n a S 于是)2121(
)(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S 所以11121-+++-=n n n n a a a n n n a a 2
1211+=⇒+. （2）应用类型4的方法，上式两边同乘以12
+n 得：22211+=++n n n n a a 由12
14121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n 2)1(222=-+=12
-=⇒n n n a。