求数列通项公式的常用方法类型1、()n n S f a =解法：利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例 1 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=，又112a =，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.变式 1. 已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，求n a变式2. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． 求数列}{n a 的通项公式变式3. 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式；变式4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．求数列{}n a 的通项n a变式5. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． 求数列}{n a 的通项公式；变式6. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2)2(81+=nn a S （1）求证：}{n a 是等差数列 （2）若n b 3021-=n a ，求}{n b 的前n 项和的最小值类型2、b ka a n n +=+1型（其中b k 、为常数，0≠kb ，1≠k ） 解：设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1比较系数：b m km =- ∴ 1-=k b m∴ }1{-+k ba n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴11)1(1-⋅-+=-+n n k k ba kb a∴1)1(11--⋅-+=-k bk k b a a n n例1 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式. 【解析】:利用1()2()n n a x a x -+=+,x a a n n +=-12,求得1=x ,112(1)n n a a -+=+,∴{}1n a +是首项为112a +=,公比为2的等比数列,即1221-•=+n n a ,12n n a +=,21n n a ∴=-变式1.已知数}{n a 的递推关系为4321+=+n n a a ，且11=a 求通项n a类型3、)(1n f a a n n =-+型，（()f n 可求前n 项和），利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。

例1.已知}{n a 的首项11=a ，n a a n n 21+=+（*N n ∈）求通项公式。

解：)1(21-=--n a a n n )2(221-=---n a a n n )3(232-=---n a a n n ……2223⨯=-a a1212⨯=-+a an n n a a n -=-+++=-21)]1(21[2∴12--=n n a n变式 1.已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式2. 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式 3. 已知数列{}n a 中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥求数列{}n a 的通项公式.变式4. 已知数列{}n a 满足11=a ，)1(11+=-+n n a a n n ，求{}n a 的通项公式。

类型4 b an ka a n n ++=+1型解：可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1∴ ⎩⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 11)(-⋅++=++n n kB A a B An a∴B An k B A a a n n --⋅++=-11)( 将A 、B 代入即可例1. 已知：11=a ，2≥n 时，12211-+=-n a a n n ，求}{n a 的通项公式。

解：设])1([211B n A a B An a n n +-+=++- B A An a a n n 212121211---=-∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-12121221B A A解得：⎩⎨⎧=-=64B A∴ 3641=+-a∴ }64{+-n a n 是以3为首项，21为公比的等比数列∴ 1)21(364-⋅=+-n n n a∴ 64231-+=-n a n n类型5 nnn q ka a +=+1型 （0≠q ） 等式两边同时除以1+n q 得q q a q k q a n n n n 111+⋅=++ 令n n n q a C =则q C q k C n n 11+=+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型例1. 已知}{n a 中，11=a ，nn n a a 221+=-（2≥n ）求n a 。

由nn n a a 221+=-得12211=---n n n n a a∴ }2{n n a 成等差数列，)1(212-+=n a n n ∴ 122--⋅=n n n n a类型6 n n n Bq Aa a +=+1（q B A 、、为常数，下同）型，可化为)(11nnn n q a A q a ⋅+=⋅+++λλ的形式.例1.在数列{}n a 中，111342,1-+⋅+=-=n n n a a a ,求通项公式n a解：原递推式可化为：)13(231-⋅+=⋅++n na n n aλλ ①比较系数得4-=λ，①式即是：)(a a n n n n 1134234-+⋅-=⋅-.则数列}34{1-⋅-n n a 是一个等比数列，其首项534111-=⋅--a ，公比是2.∴112534--⋅-=⋅-n n na即112534--⋅-⋅=n n n a .变式 1. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

变式2. 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式3. 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

类型7、n n a n f a ⋅=+)(1型。

（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。

（2）若)(n f 可求积，利用恒等式321121(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法。

例1：已知：311=a ，11212-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。

解：1235375325212321212122332211+=⋅--⋅--⋅+-=⋅⋅⋅-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n∴1211231+=+⋅=n n a a n变式1. 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 变式2. （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。

变式3. 已知数列{}n a 满足321=a ，nn a n na 11+=+，求n a 。

变式4. 已知}{n a 中，nn a n n a 21+=+且21=a 求数列通项公式。

类型8、1nn n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠ 取倒数变成1111n n d a c a c+=+ 的形式的方法叫倒数变换. 例 1 已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】:将121n n n a a a +=+取倒数得:1112n n a a +=+,1112n na a +-=,∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,公差为2的等差数列.112(1)n n a =+-,∴121n a n =-. 例2 已知}{n a 中，41=a ，144--=n n a a （2≥n ）求n a 。

解：nn n n a a a a )2(24221-=-=-+∴ 2121)2(2211-+=-=-+n n n n a a a a （1≥n ）∴ 2121211=---+n n a a （1≥n ）设21-=n n a b即)1(211≥=-+n b b n n∴ }{n b 是等差数列∴ 221)1(21211n n a a n =⋅-+-=- 22+=n a n例3. 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－ 求数列｛a n ｝的通项公式； 解：（1）将条件变为：1－n n a ＝n 11n 113a －－（－），因此｛1－nna ｝为一个等比数列，其首项为1－11a ＝13，公比13，从而1－nna ＝n 13，据此得na ＝nn n 331•－（n 1）变式1.已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n nn a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。

变式2.数列{}n a 中，11a =，12,()2nn n a a n N a ++=∈+ 变式3.在数列｛n a ｝中，1a =1, n n na a n =++1)1(，求n a 的表达式。

变式4. 数列}{n a 中，n n nn n a a a +⋅=+++11122，21=a ，求}{n a 的通项。