数列通项公式的几种求法注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。

一、公式法二、累加法三、累乘法 四、构造法 五、倒数法六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =（七）、对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用） （八）、迭代法 （九）、数学归纳法 已知数列的类型 一、公式法*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈ 已知递推公式二、累加法 )(1n f a a n n +=+（1）()f n d = （2）()f n n = （3）()2nf n =例 1 已知数列{}a满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

2n a n =例 2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

（3 1.nn a n =+-）三、累乘法 n n a n f a )(1=+（1）()f n d = （2）()f n n =，1n n +，2n例3 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

（(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nn n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n na n a +=+，进而求出13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。

例4 （20XX 年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。

（!.2n n a =） 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

四、构造法 q pa a n n +=+1 ()n f pa a n n +=+1 n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

（1）q pa a n n +=+1（构造等比）1n n a t pa t q ++=++1n n q t a t p a p +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭q tt p+= 1q t p =-例5 已知数列{}n a 满足134n n a a +=+（2）()n f pa a n n +=+11.n n n a pa q m +=+（2.1）构造等比数列111n n n n n a t m pa qm t m ++++⋅=++⋅111n n n n n q m t m a t mp a p +++⎛⎫⋅+⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭11()n n n n q t m m a t mp a p ++⎛⎫+⋅⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭q tmt p+=q t p m=-（当p m =时用构造成累加的形式求）例6 已知数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

（125n nn a -=+）评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为1152(5)n nn n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}nn a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

（2.2）够造成累加法1.n n n a pa q m +=+111nn n n n n a a qm p p p+++=+ 111nn n n n n a a qm p p p +++-=（回归到累加法 ）例7已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nn n a a +=+⨯+转化为111213333n n n n n a a +++-=+，进而求出112232111122321()()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+，即得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

例8 已知数列{}n a 满足1135241nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

（1133522n nn a -=⨯-⨯-）评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nn n a a +=+⨯+转化为115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+，从而可知数列{522}n n a +⨯+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +⨯+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

例9 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

（42231018n n a n n +=---）评注：本题解题的关键是把递推关系式212345n n a a n n +=+++转化为2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，（设()()()()222111211345n n a p n q n f a p n q n f n n ++++++=++++++++）()()2111n a p n q n f ++++++=232452222n p p q p q f a n n ++++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭32p p +=，242p q q ++=，52p q f f +++=） 从而可知数列2{31018}n a n n +++是等比数列，进而求出数列2{31018}n a n n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

五、倒数法1nn n ka a pa q+=+ 例10已知数列{}n a 满足121nn n a a a +=+， 例11 已知数列{}n a 满足1221nn n a a a +=+六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n例10已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .七、对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用）例10 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为511237n n n a a a +=⨯⨯=，，所以100n n a a +>>，。

在5123n n n a a +=⨯⨯式两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++ ⑩ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++○11将⑩式代入○11式，得5lg lg3lg 2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++，两边消去5lg n a 并整理，得(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则lg35lg 25x x x y y +=⎧⎨++=⎩，故lg34lg3lg 2164x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入○11式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (1)5(lg )41644164n n a n a n +++++=+++ ○12 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164a +⨯++=+⨯++≠及○12式， 得lg3lg3lg 2lg 04164n a n +++≠， 则1lg3lg3lg 2lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164n n a n a n +++++=+++， 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是以lg3lg3lg 2lg 74164+++为首项，以5为公比的等比数列，则1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164n n a n -+++=+++，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)5lg(332)lg(733n n n n n n n n n n n n a n ---------=+++---=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅1115116454151511642)lg(732)n n n n n -------⋅=⋅⋅则11541515164732n n n n n a -----=⨯⨯。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123n n n a a +=⨯⨯转化为1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (1)5(lg )41644164n n a n a n +++++=+++，从而可知数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。