n ( x) An cos Bn x An cos
(2n 1) x a
n 1,2,3,
现在讨论时间相关 项方程的
1 dT (t ) k 1 2 B 2 DvT (t ) dt L
的解 4-10
对应一确定Bn，有一确定的Tn(t)，用 L2/(1+Bn2L2) 乘以上式，有 其中
1 d 2 ( x) B 2 2 ( x) dx
4-5ห้องสมุดไป่ตู้
1 dT (t ) k 1 2 B 2 DvT (t ) dt L
4-6
方程4-5可改写为
1 d 2 ( x) B2 0 2 ( x) dx
为典型的波动方程，容易得出其通解为 由于初始通量密度 关于x=0平面对称
§4.1
均匀裸堆的单群理论
一、均匀裸堆的单群扩散方程及其解
根据上一章所得单群中子扩散方程
1 (r , t ) S (r , t ) J (r , t ) a (r , t ) v t
在由燃料-慢化剂构成的有限大小的均匀裸堆系统的芯部，单位时间、单位体 积内产生的中子数为
定中子通量密度分布
（2）当k1>1,这时所有kn-1中至少有一项大于1，通量密度按指数规律增加，
反应堆也无法维持一个恒定中子通量密度分布 （3）k1等于1，这时只有对应n=1的一项不随时间变化，其余随时间衰减
S f (r, t ) f (r ) (r, t )
根据无限介质增殖系数的定义
k
f (r ) (r , t ) f a (r ) (r , t ) a
得到
考虑启动过程的独 立的外中子源和用 斐克定律
S f (r, t ) ka (r, t )
1 (r , t ) D 2 (r , t ) a (r , t ) k a (r , t ) S 0 (r , t ) v t
在反应堆临界理论中，主要研究下面两个问题： （1）各种形状的反应堆达到临界状态的条件（临界条件） （2）研究临界状态下系统内中子通量密度的分布。
§4.1
均匀裸堆的单群理论
实际反应堆都是非均匀的，燃料以燃料棒的形式出现，而 且各燃料棒的富集度存在差异，但要严格按非均匀堆进行 中子扩散或输运方程求解，非常复杂，或则不可能。实际 都作“均匀化”处理，即把燃料、慢化剂、冷却剂及结构 材料看成均匀混合。 对中子能量的处理采用划分“能群”的方法，即把从源能量 到热能的范围划分成若干区间（能群）。最简单的扩散模型 就是单群，即把热中子反应堆内的所有中子都看成是热中子。 更精确一些的模型是双群，即把热中子划为一群，快中子为 一群。
( x) A cos Bx C sin Bx
( x) A cos Bx
a ( ) 0 2
要求
由边界条件
n a
Ba A cos 0 2
Bn (2n 1) a n 1,2,3,
A不能为零
Bn
n 1,3,5,
或
Bn2称为特征值，对 应一系列满足方程 的特征函数。n=1的 称为基波本征函数， n>1的统称为谐波本 征函数。
l L2 ln 2 2 Dv(1 L2 Bn ) 1 L2 Bn
k n 1 t ln
1 dTn (t ) kn 1 Tn (t ) dt ln
kn
k 2 1 L2 Bn
l
a
v
方程4-10的解
Tn (t ) Ce
(4 13)
对应每个n,
n ( x)Tn (t )

是满足方程4-1的解，其线性组合 也是原问题的解

cos ( x, t ) C n n ( x)Tn (t ) An
n 1 n 1

(2n 1) a
xe ( kn 1)t / ln
其中Cn和An为待定系数，利用余 旋函数系的正交关系可求得
An
4-4
是一二阶偏微分方程，通常用分离变量法求解
( x, t ) ( x)T (t )
代入4-4式
1 d 2 ( x) 1 dT (t ) k 1 2 2 ( x) dx DvT (t ) dt L
左端是x的函数，右端是t的函数，两端必须均等于某一常数，令为-B2,得方程组
第四章 均匀反应堆的临界理论
前面两章讨论的是中子在非增殖介质内的慢化和扩散问题。本章 将研究由燃料和慢化剂组成的有限均匀增殖介质（反应堆系统） 内的中子扩散问题。在增殖介质内，中子在扩散过程中，一方面 被不断地吸收，同时又由于核裂变反应不断地有新的中子产生。
在讨论增殖介质内的中子扩散问题时，最感兴趣的是：这种链式裂变反应是 不断地衰减，还是自续地进行下去？在什么条件下这种链式反应过程能够保 持稳态地自续地进行下去？这是第一章中所提到的反应堆临界理论问题。
无限平板反应堆的单群扩散方程的解
1 ( x, t ) 2 ( x, t ) D a ( x, t ) k a ( x, t ) v t x 2
4-1
用D除上式各项，并注意到L2=D/∑a，得到
1 ( x, t ) 2 ( x, t ) k 1 ( x, t ) 2 2 Dv t x L

xe ( kn 1)t / ln
4-15
随时间变化项为
e
k n 1 t ln
由
L2 ln 2 Dv(1 L2 Bn )
k kn 2 1 L2 Bn
Bn
(2n 1) , n 1,2,3 a
知n=1时，B1最小，k1最大
（1）当k1<1,所有kn-1都小于1，通量密度按指数规律衰减，无法维持一个恒
2 a/2 (2n 1) 0 ( x) cos xdx a / 2 a a
代入上式，得4-15
二、热中子反应堆的临界条件 根据
2 a/2 (2n 1) (2n 1) ( x, t ) C n n ( x)Tn (t ) 0 ( x) cos xdx cos a / 2 a a n 1 n 1 a