c
cl

1 dx
l
c ba ba
由此可得，如果随机变量 X 服从区间[a,b]上的均匀
分布，则随机变量 X 在区间[a,b]上的任一子区间上取
值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的
位置无关。
例1.某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车， 即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻，如果乘客到达此站时
当 时,
当 时,
当
时,
特别,令
第五、六节
第二章
连续型随机变量及其分布
一、连续型随机变量的定义 二、常用的连续型随机变量
一、连续型随机变量的定义
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负
函数 f x x ,，使对任意实数 x 有
则称 X为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。
例3 已知离散型随机变量 X 的分布函数为
0

1
Fx
10

2
5
1
x3 3 x4 4 x5 x5
求 X 的分布律。
解 X 的可能取值为 3，4，5。
PX 3 F 3 F 3 0 1
10
0 x 3

1
Fx
10
概率为 P{X 2 4 0} P{(X 2) ( X 2)}
P{X 2} P{X 2},
利用f
(x)

1 5
,1

x

6
4 5
0,其它
从而
P{X 2}

f (x)dx
61 dx 4 .
2
25
5
同理P{X 2} 0.
则称 X 服从 [a, b]上的均匀分布，
记作： X ～ U [a, b]
0,
分布函数为: F (x)
x
f
(t)dt

x a

b

a
,
1,
x a， a x b，
x b.
均匀分布的概率背景
因为 P{c X c l}
cl
f (x)dx
当 x 0时, {X x} F(x) 0
当 0 x 1 时, F(x) P{X x} P{X 0} 1 3
当1 x 2时,
F(x) P{X 0} P{X 1} 1 1 1
当x 2时
36 2
F(x) P{X 0} P{X 1} P{X 2} 1

2
5
1
3 x 4 4 x5 x5
PX 4 F 4 F 4 0 2 1 3
5 10 10
PX 5 F 5 F 4 1 2 3
55
所以 X 的分布律为
例4、 向[0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标. 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间 长度成正比，求 X的分布函数. 解：
(1) P{x1 X x2}
(2) P{x1 X x2}
同理，还可以写出
P{X x1} P{X x1}
二、分布函数的性质
⑴ 单调不减性：
，则
⑵ 0 F(x) 1 ，且
⑶ 右连续性：
上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数 的充要条件。
例1 已知 Fx Aarctan x B ，求 A、 B。
对于连续型随机变量的分布函数F ( x)必是连续函数. f (x)可积 F(x)连续
2. 概率密度的性质
⑴ 非负性 f (x) 0
⑵ f (x)dx＝1 由于 F () f (x)dx＝1
(3) f (x)在点x 处连续，则 f (x) F(x)
解
F A B 0
2
F A B 1
A 1

B1 2
2
所以 F x 1 arctan x 1

2
例2. 已知随机变量X 的分布律为 X 0 1 2
求分布函数 F (x)
pk
1 3
11 62
解: F(x) P{X x}
所以，
一般地，设离散型随机变量 X 的分布律为
P{X xk} pk ,k 1, 2, 3,
由概率的可列可加性得 X 的分布函数为
F x P{X x} pk P{X xk }
xk x
xk x
12 离散型的分布函数为阶梯函数；xk为间断点；
P{X xk} F (xk ) F (xk 0)
0 x 0,
例4 .电子元件的寿命X(年）服从λ＝3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2 年的概率为多少？
解 由已知得 X 的概率密度为
3e3x x 0 f (x)
0 x 0,
(1)P{X 2} 3e3xdx e6 2
(x)

2

1 x2 ,
1 x 1
0, 其它
解：F(x) PX x
x
f (t)dt

当x 1时, F(x) 0
求 F(x).
当1 x 1时,
F(x)
1
0 dt
x2
1 t 2 dt

1
x 1 x2 1 arcsin x 1
1 e1.
例3、 及概率密度函数 f (x)。 解：
求常数 a,b,
例4、 解：
，求A , B 及 f (x)。
注：F(x) f (x)的方法.
二、常用的连续型随机变量
1、均匀分布
定义、 若 连续型随机变量 X 的概率密度为：
f
(x)


b
1
a
,
a xb
0,
其它
的指数分布。若等待时间超过10
分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行5次， 以 Y
表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y
的分布律及至少有一次没有等到服务的概率
解 Y是离散型，Y ~ b(5, p) ，其中 p = P{X > 10}
现在 X 的概率密度为
1/ 5ex /5 x 0 f (x)
间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时
间少于5 分钟的概率.
解： 依题意， X ～ U (0 ,30)
即
f
(
x)


1 30
,
0,
0 x 30 其它
为使候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10
到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
例2、 设随机变量X 服从[1，6]上的均匀分布，求一元
二次方程t2 + X t + 1= 0 有实根的概率。
解 因为当 X 2 4 0 时，方程有实根，故所求


2
当 x 1, F(x) 1
例2、设连续型随机变量 X的概率密度为
求 A的值，
解：
f (x)dx
Ae3xdx 0 NhomakorabeaA( 1)e3x 3
0

A 1 3
A 3.
1
1
1
3 f (x)dx
3 3e3xdx
0

e3x
3 0
2 PX 3.5 X 1.5
P{X 3.5, X 1.5} P{X 1.5}
3e3xdx
3.5
3e3xdx
1.5
= e- 6
由⑴、⑵结果得：指数分布具有无记忆性，即
PX s t X s PX t (t 0)
2、 指数分布
定义：若随机变量X 的概率密度为：
f
x

e x

x0
0
x0
其中 ( 0) 为常数，则称随机变量X服从参数为的 指数分布。指数分布的分布函数为
F
x


1

0 e
x
x0 x0
例3 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟)
X 服从参数为
3、连续性随机变量的特点 (1) (2)
(3) F(x)连续。
f (x)
1 0ab x
4、密度函数f (x)的意义： 反映了随机变量 X在点x 处的密集程度。 在等长度的区间上，f的值越大，说明X在该区间内 落点的可能性越大。 f (x)
1 0ab x
例1. 设 X 的密度函数为 f (x)
f
第四节
第02章
随机变量的分布函数
一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、离散型分布函数的求法
一、分布函数的概念
定义1 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，则称函数
为X 的分布函数。
( x )
x
分布函数 F x的函数值的含义：
表示 X 落在 (, x] 上的概率.
∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。