渗碳开始后工件表面碳浓度很快达到一恒定值。
由于渗碳过程中碳原子的扩散仅发生在至工件 表面一定深度之内，心部碳浓度始终保持不变， 因此这种扩散可视为在半无限长物体中的扩散。
此问题的边界条件为
t >0, x =0, =0, C = Cs
x=∞, =∞, C = C1
将此边界条件代入式(10-14) C
DA
DB
dX A dx
(10-26)
再将式(10-26)代入式(10-24)得达肯方程
J A 总
X BDA
X
A
DB
dCA dx
D
dCA dx
JB 总
X BDA
X
A
DB
dCB dx
D dCB dx
(10-27)
互扩散系数 本征扩散系数
10.1.3.3 D随C改变时扩散方程的解
对于间隙扩散，由于扩散系数随浓度变化较小， 因而假定扩散系数为常数不会引起很大的误差。
从另一角度看，单位时间内体积元中扩散物质的 积存量又可用浓度随时间的变化来描述，即
(C A dx) C Adx
t
t
(10-6)
由(10-5)和(10-6)得到
C J
t
x
(10-7)
C J (D C ) (10-8) t x x x
10.1.2.1 无限长物体中的扩散
设A、B分别表示两根很长、且截面相同的均匀固溶 体合金棒。A浓度为C1 ，B的浓度为C2 ，且C2 > C1 。 将A、B两合金棒对焊在一起制成扩散偶，并使焊合 面垂直于x轴(棒的轴线)，其所在位置取为坐标原点 (x=0)。
此时，感兴趣的不是C与x，t的关系，而是利用实
测的C-x关系及扩散第二方程求得给定时间不同浓 度的扩散系数。
采用变量代换将(10-29)转化为单变量方程。
C t
x
D
C x
D
2C x2
D x
C x
设C=C()，D=D()， x t ，于是有
C dC dC C dC 1 dC t d t 2t d x d x t d
引入误差函数后，对于无限长扩散偶的情况，第二扩 散方程的解可写为
C C1 C2 C1 C2 erf ( )
2
2
C1 C2 C1 C2 erf x
2
2
2 Dt
(10-16)
C C1 C2 C1 C2 erf ( )
2
2
C1 C2 C1 C2 erf x
2
2
2 Dt
若初始浓度为0，例如对纯铁渗碳，方程可简化 为
C Cs 1 erf
2
x Dt
(10-19)
10.1.3 柯肯达尔效应与达肯方程
10.1.3.1 柯肯达尔效应
对于间隙固溶体中溶质原子的扩散来说，仅考虑一个组元 扩散的处理是可行的；但在处理代位固溶体的扩散问题时， 溶质原子与溶剂原子的扩散都必须加以考虑。
总
CB
vm
vD
B
CBvm
J
B
(10-22)
由菲克第一定律得到
JA
DA
dC A dx
JB
DB
dCB dx
(10-23)
将式(10-23)代入式(10-22)得
J A 总
C Avm
DA
dC A dx
J B 总
CBvm
DB
dCB dx
(10-24)
假定在扩散过程中各处单位体积的摩尔数保持不
✓ 当扩散偶的一侧不存在原始浓度时，如C1=0，则(10-
16)式为
C
C2 2
1 erf
2
x Dt
(10-17)
10.1.2.2 半无限长物体中的扩散
低碳钢工件渗碳处理是扩散原理在工业生产中 应用的实例。
设低碳钢工件原始含碳量为C1，在渗碳气氛中 将其加热至奥氏体相区某一温度(如930℃)进行 渗碳处理。
D：扩散系数，m2/s，它的物理意义，在数值上 等于əC/əx =1时的扩散通量。
C：扩散组元的体积浓度，单位kg/m3或体积原子 数m-3
əC/əx（dC/dx）：扩散组元浓度沿X方向的变化 率--浓度梯度
负号：扩散方向与梯度方向相反，扩散由高浓度 区向低浓度区进行。
扩散第一定律的应用
将一个由纯铁制成的空心圆柱体置于炉子的恒 温区进行加热保温，并在圆柱体内通入渗碳气 体，圆柱体外通脱碳气体，这样碳原子就会从 圆柱体内壁渗入而从圆柱体外表面逸出。
第十章 扩散
10.1 稳态扩散和非稳态扩散的经典理论
固态材料中的扩散虽然比气体和液体中的慢，但 也控制着固态材料中的一些重要物理化学过程。
合金成分均匀化、钢的化学热处理、金属的扩散 焊接等与扩散有关
从浓度变化角度来定义固体中的扩散： 稳态扩散—扩散过程中各点的浓度不随时间改变 非稳态扩散—扩散过程中各点的浓度随时间变化
再积分得
C Ae2 d B 0
(10-14)
根据边界条件
x ,
2
x Dt
, C C2
可以得到
x ,
2
x Dt
, C C1
C2
Ae 2 d B A
0
2
B
C1
Ae 2 d B A
0
B
2
上式利用了高斯误差积分
e2 d
0
2
由上可解A与B
d
x
)
1 4Dt
d 2C
d2
将式(10-11)与(10-12)代入式(10-9)
dC D 1 d 2C 2t d 4Dt d 2
d 2C
d 2
2
dC
d
(10-11) (10-12)
(10-13)
令P=dC/d，则有dP/P=-2 d ，积分得
P dC Ae 2
d dC Ae 2 d
先通过作图法求曲线斜率， 然后求面积 再求扩散系数
10.2 扩散的微观机制
晶体中的原子在其点阵位置上不停的进行热振动，并 且可能在某一时刻因具有较高能量而脱离平衡位置跃 迁到相邻的其他平衡位置。
正是1 原子跃迁频率与扩散系数
沿扩散方向考虑间距为的两个相邻晶面1和2，其面 积均为1，如下图所示。
D dC q
dr 2 rlt
q
D(2 lt)
dC dr
D(2 lt)
dC dInr
r
(10-4)
q
D(2 lt )
dC dr
D(2 lt )
dC dInr
r
式中l，t为已知值，q可以通过测定由炉内流出 的脱碳气体中碳的增量求得，故只要测出沿圆
柱体横截面不同r处的碳浓度，做出C-lnr曲线便 可求得扩散系数D。
如果扩散系数不随浓度变化，C与lnr的关系是线 性的；如果扩散系数随浓度变化，C与lnr的关系 不是线性的。
10.1.2 菲克第二扩散定律及应用
在菲克第一扩散定律的基础上利用扩散物质质量平衡原理
定律表达式
C (D C ) t x x
(10-8)
当D为常数时
三维情况下
C t
D
2C x 2
A C1 C2 , B C1 C2
2
将A与B代入式(10-14)得
C C1 C2 C1 C2 2 e 2 d (10-15)
2
2
0
上式中
2 e 2 d
0
定义为误差函数，记为erf(),
该函数具有如下性质：
erf(0)=0;
erf(∞)=1;
erf (-)= - erf ( )。 其他不同 值所对应的erf() 值可查误差函数表。
v总= vm +vD
(10-20)
若扩散组元的体积浓度为Ci，原子的扩散速度为vi， 则扩散通量Ji可写成
Ji = Ci vi
(10-21)
根据(10-20)和(10-21)，二元系A, B两组元各自 相对于观察者的扩散通量分别为
JA 总 CA vm vD A CAvm J A
J
B
变，则应有(JA)总= -(JB)总 ，由此得
vm
CA
CB
DA
dCA dx
DB
dCB dx
(10-25)
设c为单位体积的摩尔数；XA和XB分别表示A、 B两组元的摩尔分数，则有XA + XB =1， CA=cXA, CB=cXB,将其代入式(10-25),得
vm
DA
dX A dx
DB
dX A dx
Ae2 d B
求得两积分常数分别为
0
A
2 C1
Cs
,
B
Cs
扩散第二方程的解为
C
Cs
Cs
C1 erf
2
x Dt
(10-18)
C Cs Cs C1 erf
2
x Dt
对指导实际生产中的化学热处理很有意义。如果 渗碳过程中规定了渗层厚度x及该处的浓度C，则 可估算出渗碳所需要的时间。
x (c)
单位时间内扩散物质流入体积元的质量(或原子数）
=J1A 单位时间内扩散物质流出体积元的质量(或原子数）
=J2A 单位时间内扩散物质在体积元内积存的质量（或原
子数）=J1A-J2A 由于体积元很小，所以
J2A
J1A
(JA) x
dx
J1A
J x
Adx
J1A
J2A
J x
Adx
(10-5)
将此扩散偶加热至足够高的温度保温，溶质原子在浓 度梯度的作用下将进行扩散。
由于合金棒很长，且固态下原子扩散很慢，因此在扩散 过程中棒两端的浓度不受影响而保持恒定