又因为矩阵 0 2 2 0 1 2 1 0 的秩为3
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1
3个线性独立物理量：m,k,g
0 2 2 1 1 0 0
00 1
寻找剩余物理量对应的无量纲量 lnl x1 lnm x2 lnk x3 lng
这个现象的各个物理量及其关系式 f (q1, q2 ,..., qn ) 0
（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量
q x1a1 x2a2 ...xmam lnq a1 lnx1 a2 lnx2 ...am lnxm
可以把它看成是m维空间的正交基矢，则 a1, a2,..., am 就是矢量
规律的影响；
(3)可进行超越函数运算：
由于有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三
角函数等超越函数的运算是没有意义的。只有无量纲化才能
进行超越函数运算。如气体等温压缩计算式：W

p1V1
ln

V2 V1

量纲分析与无量纲化
研概究念方与法意义
量纲分析法
方法一：瑞利法（Rayleigh） ——量纲和谐原理的直接应用
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3

q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
qm j

q x1 1
j
q2
x2
j
...qm
xmj
qm
j
(
m j )
（5）整理方程式，写成相应无量纲的形式 F (1, 2,..., nm ) 0
例题二：
例：将质点悬挂在劲度系数为k的弹簧下端，将质 点从未伸长的弹簧下端由静止释放，求弹簧长度x 随时间t的变化。
两个具有相同量纲的物理量相比； 几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零。
意义
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性：
凡有量纲的物理量，都有单位，同一物理量，因选取的度
量单位不同，数值也不同，运动方程式的计算结果会受人主
观选取单位的影响；
(2)不受运动规律的影响：
无量纲量是常数，数值大小与度量单位无关，也不受运动
量纲分析与无量纲化
概念与意义
量纲分析法
计算模拟
量纲：撇开单位的大小，表征物理量的性质和 类别。
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 时间 t 的量纲记 T=[t]
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 纲 力 F 的量纲 [F]=LMT-2
若某一物理过程包含n个物理量，即 f (q1, q2 ,..., qn ) 0
其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量）
则该物理过程可由n个物理量构成的(n-m)个无量纲项所表达
的关系式来描述 ，即 F (1, 2 ,..., nm ) 0
定理的解题步骤
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响
（1）牛顿运动方程：
m
d2x dt 2

k(x
l)

mg
初始条件为： x l, dx 0(t 0) dt
（2）涉及的所有物理量的量纲
m
kg
l
t
d 2x dx dt2 dt
x
T0
-2 -2
0
1
-2 -1
0
M1
1
0
0
0
0
0
0
L0 0 1 1 0 1 1 1
0 l
m mg
例题二：
可以把这六个物理量看成是三维空间的矢量，所有其基本 量最多可以选三个（线性无关）
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
对无量纲量q，[q]=1(=L0M0T0) 0
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
1

q4 q q q a1m x1 j a1,m j
具 1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；
体 2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
分 析
qi Kq1aq2b...qnp1
步 3、 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，
骤 确定物理量的指数a，b，……p，代入指数方程式即得
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉提出：
结束
g
g
例题一：
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f (t, m, l, g ) 0
t m l g y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
[t] L0M 0T 1 [m] L0M 1T 0 [l] L1M 0T 0 [g] L1M 0T 2
由公式得： 0 2 2 x1 0
1 1 0 x2 0
0 0 1 x3 1
x1 1

x2

1
x3 1
l m k x1 x2 g x3l kl mg
选择基本变量的原则：
定理应用范围：
对相关物理量个数 n 没有限制，应用更为普遍。
(1)基本变量与基本量纲相对应： 即若各物理量中基本量纲（M，L，T）出现三个，那么
基本变量也选三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量 只须选择两个。 (2)选择基本变量时，应选择重要的变量：
不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在 大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 (3)不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的：
换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。
ln[q]在各个基矢量上的投影。则物理量q的“量纲”可以记做：
lnq a1, a2,..., am lnqi a1i , a2i ,..., ami (i 1,2,..., n)
如：一般取m=3，取基矢量q1、 q2、 q3
q1 M a1 Lb1 T c1 q2 M a2 Lb2 T c2 q3 M a3 Lb3 T c3
(L0M 0T 1 ) y1 (L0M 1T 0 ) y2 (L1M 0T 0 ) y3 (L1M 0T 2 ) y4 L0M 0T 0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0

y 2

0

y 1

2y 4

0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
a1 b1 c1 a2 b2 c2 0 a3 b3 c3
满足基本量量纲 独立的条件是量 纲式中的指数行 列式不等于0
定理的解题步骤
（3）基本变量依次与其余物理量组成(n-m)个无量纲项( 项)，即
qm1, qm2 ,..., qn
qm j

q x1 j 1
l m
(4)以基本量纲表示 T M 1 L2 LT 2 3 M L T 1 2 3 23
mg
(5)根据量纲和谐原理
1 0 2 3 0 23 1
1 0 2 1/ 2 3 1/ 2
t l 对比 t 2 l
将其写出分量的形式： a21 a22 ... a2m x2 j a2,m j
... ... ... ... x3 j a3,m j
（4）满足π为无量纲项，
am1 am2 ... amm x4 j a4,m j
定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci
qm j