2
10
20
30
34
t(d)
T (℃ ) 30
C (34, 33.4)
20 10
B (32, 18.6)
A (1, 3.5)
2 0 2
10
20
30
34
t(d)
问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义 是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？
T (℃ )
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
1.1.2 导数的概念

在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映 运动员在某一时刻的运动状态，需要用瞬 时速度描述运动状态。我们把物体在某一 时刻的速度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
1.1.1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 4 3 V(r ) r . 3 3 3V 随着 . 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V) 4 气球体积 当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了 逐渐变大, r (1) r (0) 0.62(dm), 它的平均 r ( 1 ) r ( 0 ) 气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L ), 膨胀率逐 1 0 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 渐变小
10
20
30
34
T (℃ )
C (34, 33.4)
30
20 10 A (1, 3.5) 2 0 2
B (32, 18.6)
线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平 均变化率 (4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平 均变化率 现在回答问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的 数学意义是什么？（形与数两方面）
f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x
理解： y 1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0 3, 变式
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
思考:

观察函数f(x)的图象
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1) f(x1) A x O x1 x2
f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 y x2 x1 f(x )
2
B
表示什么?
直线AB的斜率
练习:
1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万 元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在
时间 日最高气温 3月18日 3.5℃ 4月18日 18.6℃ 4月20日 33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化，用曲线图表示为：
T (℃ )
30 20 10 A (1, 3.5)
2 0
C (34, 33.4) （注： 3月18日 为第一天） B (32, 18.6)

2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx
小结：

y f ( x2 ) f ( x1 ) 1.函数的平均变化率 x x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率 y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
t(d) yC yB (3)我们用比值 xC xB 近似地量化B、C这一段曲
10
20
30
34
定义:
f ( x2 ) f ( x1 ) 称为函数 f (x)从x1到 x2 平均变化率:式子 x2 x1 的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态, 那么: h(0.5) h(0) 4.05(m/s ); 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 0.5 0 在1≤ t ≤2这段时间里,
h(2) h(1) v 8.2(m/s ); 2 1
探 究:
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，
需要用瞬时速度描述运动状态。
问题3：
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
(1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .
做两个题吧!
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 D Δy/Δx=( ) A、3 B、 3Δx-(Δx)2 C 、 3-(Δx)2 D 、3-Δx
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20 10 A (1, 3.5) 2 0 2
t(d) （1 ）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想 如何量化直线的倾斜程度。 （2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意 yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？ 在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个 量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。
r (2) r (1) 气球的平均膨胀为 0.16(dm/L ), 2 1
r (2) r (1) 0.16(dm),
思考?

当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系