第13章 多元线性回 归
多元线性回归模型（对总体而言）
Y 0 1X1 2 X 2 p X p
1，2 ，p 为未知参数， 为随机误差项，反映其它
未列入回归模型的变量对因变量的影响。
Y，X均为为列向量
Y1 Y
Yn
X1i Xi
X1n
1
i
n
MSE=SS E/(n-k)
Butler运输公司的ANOVA表
方差来源 平方和 自由度
回归方程 21.601 2
均方 (mean square)
10.800
F统计量 32.88
误差
2.299 7
0.328
合计
23.900 9
2. 单个参数显著性的t检验：
与一元回归模型一样，模型估计的参数 bi
克服多重共线性：合并有相关关系的自变 量
多元回归模型的估计和预测
1.E(y)的点估计量和y的预测值 将自变量 x1, x2, , xp 的值代入估计方程，并利
用相对应的值作为y的点估计。 Bulter的例子：问当行驶里程为100英里，运货次
数为20次时，汽车行驶时间的点估计。
yˆ 0.8687 0.0611100 0.9234 2 7.092
5.误差项 服从正态分布，从而说明Y服从正态分布
对于总体的多元线性回归模型，由于总体参数未 知，我们只能利用样本数据进行估计，得到样本 回归模型（对样本而言）。
y b0 b1x1 b2 x2 bp xp e
b0, b1， bp分别为0，1 ， p的估计。 其中真实值与估计值之间的差距用e来表示：
多重共线性带来的问题：
(1)系数估计可能有符号错误或估计不出来 (2)尽管回归关系的总显著性很强，但参数估计可
能有较大的标准差，单个参数检验的显著性水平 较低。不能通过检验。
(3)数据很小的变化会导致参数估计的很大变化。
检验多重共线性：
对于有两个自变量的情形，当他们的样本 相关系数大于0.7或小于-0.7时，将有可能 产生多重共线性。
服从正态分布
N
(
i
,
2 bi
)
构造统计量：bi i ~ N (0,1)
bi 由于总体方差未知，我们同样用MSE来近似替代
总体方差 2
此时的统计量用t替代：t
bi
i
~ t(n k)
T分布的构造特点：X1,X2独立，X1服从标准
sbi
正态分布，X2服从自由度为n的卡方分布，
X1/sqrt(x2/n)服从t分布
(Y
XBˆ )(Y
XB)
Bˆ
(Y
BˆX )(Y
XBˆ )
Bˆ
(Y Y
BˆX Y
Y XBˆ
BˆX XBˆ )
Bˆ
(Y Y
2BˆX Y
BˆX XBˆ )
2 X Y
2 X XBˆ
0
X 'Y X ' XBˆ, Bˆ ( X ' X )1 X 'Y
为了指定最佳工作计划表，Butler运输公司 的管理人员希望估计其司机每天行驶的时 间。起初，管理人员认为行驶时间y与行驶 的英里数x1关系密切。因此收集10项运输 任务的样本数据，利用excel统计分析，输 出结果为：
SUMMARY OUTPUT 回归统计
Multiple R R Square Adjusted R Square Standard error Obs
0.730874 0.534177 0.475949 0.781022
10
SSR SSE SST
ANOVA
df
SS
MS
F
P
1 5.596033 5.596033 9.17389 0.016338159
100
3
7.385 8.645 6.520 9.510
100
4
8.135 9.742 7.362 10.515
质量型自变量（虚拟变量）
例:某公司向客户提供水过滤的维修保养服 务。为了估计服务时间和成本，该公司希 望对客户的每一次维修请求都做维修时间 预测。维修时间y依赖于两个因素：1.前次 维修至今已使用的月数x1；2.需维修的故障 类型x2(机械型或电子型),其中x2是质量型 自变量，取值为：0代表机械类；1代表电 子类。
这里有:
X1= bi i ~ N(0,1)
bi
X2=
(n
k
)
s2 bi
2 bi
~ 2(n k)
T分布的构造特点为:X1/sqrt(x2/自由度)
检验的假设为：
H0: i 0 ；Ha: i 0
在H0为真的前提下，有检验统计量
t
bi
服从自由度为(n-k)的t分布。
sbi
拒绝法则：
F检验：
提出假设：H0: 1 2 p 0
Ha:至少有一个参数不等于0.
检验的统计量：F=MSR/MSE
拒绝法则：若F> F , p,n( p1) 则拒绝H0。
我们对Butler运输公司的模型进行F检验： H0: 1 2＝0
Ha:参数至少有一个不等于0. 在H0为真的前提下，统计量F=MSR/MSE=32.9,F统
多元判定系数
SST=SSR+SSE 当增加自变量个数后，SSE会减 小，SSR会增大。需要调整。
R2
SSR SST
，Ra2
1
(n
1)(1 R2 ) n p 1
SSR ( yˆi y)2, SSE ( yi yˆi )2,
SST ( yi y)2
Ra2
1
9
(1 0.904) 10 2 1
以上回归方程分别为A地区、B地区、C地区的平均销售 量。
其中，
3 反映B地与A地平均销售量差异。
4 反映C地与A地平均销售量差异。
残差分析
1. 有关定义
第i次观测的残差：‘yi yˆi
第i次观测的标准化残差：
第i次观测残差的标准差：
Hi为第i次观测的杠杆率。
yi yˆi syi yˆi
发现模型的拟合度较低，希望追加另一个 变量以解释变差中的剩余部分。追加的第 二个变量是运货次数x2。
通过excel统计分析，我们来看看，增加的 变量是否有助于提高模型的解释度。
回归系数的解释
在多元回归情形下，回归系数的解释：当 所有其它自变量均保持不变时，bi是因变量 对应于自变量xi改变一个单位时，所作的改 变的估计值。
88％
模型的显著性检验
1. 整体显著性检验(test for overall significance) 原理：MSE给出了随机误差项方差的一个无偏估计
量。如果H0：1 2 p 0 成立，则有： MSR=SSR/(p+1-1)也为误差项方差的一个无偏估计， 且MSR和MSE的值将很接近。否则，MSR将高估 误差项方差，从而使MSR和MSE的比值较大。
关于多元线性回归模型的标准假设：
1. E( ) 0，可推知， E(Y ) 0 1X1 2 X 2 p X p
该方程称为回归方程。
2. 对于所有的X，误差项 的方差 2一样：即同方差
假定。
3.误差项 独立。其协方差为零，cov(i j ) 0
4.自变量是给定的变量，与误差项线性无关。
yˆ1 b0 b1x11 bp xp1 yˆ2 b0 b1x12 bp xp2 yˆn b0 b1x1n bp xpn
1
yˆ1 yˆn
1 1
x11 x12 x1n
xp1 xxppn2
b0
bp
我们用矩阵的形式来表述以上模型
E()
ˆ ˆ
1
E(Y1)
E( yn )
1 1
x11 x12 x1n
xp1 xxppn2
0
p
1
yˆ1 yˆn
1 1
x11 x12 x1n
xp1 xxppn2
b0
bp
求估计值B 令 Q e' e (Y XBˆ )(Y XBˆ ) 最小
Q Bˆ
Bˆ
ei yi pyˆi yi b0 b1x1i bp xpi
yˆ是y的一个估计值。
其中，
y1 y
yn
x1i
xi
x1n
e1
ei
en
多元回归模型的估计
最小二乘法：残差最小化，即令 ee 最小
数据 ( x1 j,x2 j , , xpj , y), j 1,2 n 估计的方程：
三地，管理者希望用回归方法来预测每周复印机 的销售量。假定令周销售量Y为因变量，销售人 数x1和广告费用x2为自变量，另外认量，令虚拟变量x3的取值为：0表示其它，1 表示B地区；虚拟变量x4的取值为：0表示其它， 1表示C地区。
当一个质量型变量有两个水平时，一般我们用一个虚拟变 量即可；若有三个水平时则需要两个虚拟变量。一般的， 若质量型变量的水平为k个，则必须有k-1个哑变量。
若|t|>t(a/2,n-k)，则拒绝H0
由软件统计结果得到，
Intercept X Variable 1 X Variable 2
Coefficients stdev
t Stat
-0.8687 0.951548 -0.91294
0.061135 0.009888 6.182397
0.923425 0.221113 4.176251
syi yˆi s
1 hi
在多元回归中，我们由统计软件达到杠杆率和残 差的标准差。
2.检测离群值
与一元回归一样，我们可以将标准化残差的绝对值大于2
的观测值识别为离群值。
第i个观测值的标准化残差 yi yˆi ＝ yi yˆi