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第三章 多元线性回归模型及非线性回归模型
其中 i 1, 2,L n
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二、多元线性回归模型的矩阵表示
多个解释变量的多元线性回归模型的n组样本观测值,可
表示为
Y1 1 2 X 21 3 X 31 k X k1 u1 Y2 1 2 X 22 3 X 32 k X k 2 u2
假定5: 无多重共线性假定 (多元中增加的)
假定各解释变量之间不存在线性关系,或各个解
释变量观测值之间线性无关。或解释变量观测值
矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。
Ran(X)= k
Rak(X'X)=k
即 (X'X) 可逆 假定6:正态性假定
ui ~ N (0, 2 )
u ~ N (0, 2I)
或用方差-协方差矩阵表示为:
Cov(ui , u j ) E{[ui E(ui )][u j E(u j )]} E(uu)
(i 1, 2,L n
(i=j)
(i≠j)
j 1, 2,L n)
E(u1u1)
E
(u2u1
)
M
E(unu1
)
E(u1u2 ) E(u2u2 )
(i 1, 2,L n)
注意:模型中的 j (j=1,2,---k)是偏回归系数
样本容量为n
偏回归系数:
控制其它解释量不变的条件下,第j个解释变量的单
位变动对被解释变量平均值的影响,即对Y平均值“直接”
或“净”的影响。
5 5
多元线性回归中的“线性”
指对各个回归系数而言是“线性”的,对变量则可 以是线性的,也可以是非线性的
例如:生产函数
Y AL K u
取对数
ln Y ln A ln L ln K ln u
这也是多元线性回归模型,只是这时变量为lnY、 lnL、lnK
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多元总体回归函数
条件期望表现形式:
将Y的总体条件期望表示为多个解释变量的函数,如:
E(Yi X 2i , X 3i , X ki ) 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki
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多元样本回归函数
Y 的样本条件均值可表示为多个解释变量的函数 Yˆi ˆ1 ˆ 2 X 2i ˆ 3 X 3i L ˆ k X ki
或回归剩余(残差): ei Yi Yˆ i
Yi ˆ1 ˆ 2 X 2i ˆ 3 X 3i L ˆ k X ki ei
(i 1, 2,L n) 注意:这时Y总体条件期望的轨迹是K维空间的一条线 个别值表现形式: 引入随机扰动项 ui Yi E(Yi X2i , X3i L Xki )
或表示为 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki ui
(i 1, 2,L n)
计量经济学
第三章 多元线性回归模型
引子:中国已成为世界汽车产销第一大国
2009年,为应对国际金融危机、确保经济平稳较快增长, 国家出台了一系列促进汽车消费的政策,有效刺激了汽车消费市 场,汽车产销呈高增长态势,首次成为世界汽车产销第一大国。 2009年,汽车产销分别为1379.1万辆和1364.5万辆,同比增长 48.3%和46.15%。
Yn 1 2 X 2n 3 X 3n k X kn un
用矩阵表示
Y1 1 X 21
Y2
1
X 22
X k1 1 u1
X
k
2
2
u
2
Yn
1 X 2n
X
kn
k
un
Y
X
βu
n 1
nk
k 1 n1
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9
矩阵表示方式
总体回归函数 E(Y) = Xβ 或 Y = Xβ + u
样本回归函数 Yˆ = Xβˆ 或 Y = Xβˆ + e
其中: Y,Yˆ,u,e 都是有n个元素的列向量
β, βˆ 是有k 个 元素的列向量
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本章主要讨论:
●多元线性回归模型及古典假定 ●多元线性回归模型的估计 ●多元线性回归模型的检验 ●多元线性回归模型的预测
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第一节 多元线性回归模型及古典假定
一、多元线性回归模型的意义
一般形式:对于有K-1个解释变量的线性回归模型
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki ui
(如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等)
各种因素对汽车销量影响的性质怎样?(正、负) 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么? 所得到的数量结论是否可靠? 中国汽车行业今后的发展前景怎样?应当如何制定汽车的 产业政策? 很明显,只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。
是什么因素导致中国汽车数量的增长? 影响中国汽车行业发展的因素并不是单一的,经济增长、 消费趋势、市场行情、业界心态、能源价格、道路发展、内 外环境,都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。
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怎样分析多种因素的影响?
分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题: 中国汽车市场发展的状况如何?(用销售量观测) 影响中国汽车销量的主要因素是什么?
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第二节 多元线性回归模型的估计
( k = 解释变量个数 + 1 )
X 是第一列为1的n×k阶解释变量数据矩阵 ,
(截距项可视为解释变量总是取值为1)
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三、多元线性回归中的基本假定
假定1:零均值假定
E(ui ) 0 ( i=1,2,---n) 或 E(u)=0
假定2和假定3:同方差和无自相关假定:
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0 Cov(ui , u j ) E[(ui Eui )(u j Eu j )] E(uiu j )
M E(unu2 )
L E(u1un ) 1 0 L 0
L E(u2un ) 2 0 1 L 0 2I
M M M M M M
L
E
(unun
)
0 0 L 1
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假定4:随机扰动项与解释变量不相关
Cov( X ji , ui ) 0
( j 2,3,L , k)